Номер 411, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

411 Камень, упавший с высоты 24 м с начальной скоростью 7 м/с, через несколько секунд достиг земли. Сколько секунд камень находился в воздухе, если расстояние s (м), которое пролетает тело при свободном падении, вычисляется по формуле $s = v_0t + \frac{gt^2}{2}$, где $t$ — время (с), $g = 10 \text{ м/с}^2$ — ускорение свободного падения тела?

Для решения задачи воспользуемся предоставленной формулой для расстояния, которое пролетает тело при свободном падении:

$s = v_0t + \frac{gt^2}{2}$

В условии задачи даны следующие значения:

• Расстояние (высота) $s = 24$ м.
• Начальная скорость $v_0 = 7$ м/с.
• Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

Нам необходимо найти время $t$, в течение которого камень находился в воздухе.

Подставим известные значения в формулу:

$24 = 7t + \frac{10t^2}{2}$

Упростим уравнение, разделив 10 на 2:

$24 = 7t + 5t^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $at^2 + bt + c = 0$:

$5t^2 + 7t - 24 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение относительно $t$. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В нашем случае коэффициенты равны: $a = 5$, $b = 7$, $c = -24$.

Сначала вычислим дискриминант ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-24) = 49 + 480 = 529$

Теперь найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$

Найдем два возможных значения для времени $t$:

$t_1 = \frac{-7 + 23}{2 \cdot 5} = \frac{16}{10} = 1.6$

$t_2 = \frac{-7 - 23}{2 \cdot 5} = \frac{-30}{10} = -3$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной в данном физическом контексте, мы отбрасываем корень $t_2 = -3$. Следовательно, единственным физически возможным решением является $t_1 = 1.6$ с.

Таким образом, камень находился в воздухе 1,6 секунды.

Ответ: 1,6 с.