Номер 407, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

407 Мяч, подброшенный от земли вертикально вверх с начальной скоростью $v_0 = 14 \text{ м/с}$, через несколько секунд оказался на высоте $h = 8 \text{ м}$. Через сколько секунд мяч оказался на указанной высоте, если $h = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$, где $g = 10 \text{ м/с}^2$ — ускорение свободного падения тела, $t$ — время (с)?

Для нахождения времени, через которое мяч окажется на заданной высоте, воспользуемся формулой, приведенной в условии задачи:$h = v_0t - \frac{gt^2}{2}$

В условии даны все необходимые значения:

• высота $h = 8$ м;
• начальная скорость $v_0 = 14$ м/с;
• ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

Подставим эти значения в формулу и получим уравнение относительно времени $t$:

$8 = 14 \cdot t - \frac{10 \cdot t^2}{2}$

Упростим это уравнение:

$8 = 14t - 5t^2$

Мы получили квадратное уравнение. Для его решения перенесем все члены в одну сторону, чтобы привести уравнение к стандартному виду $at^2 + bt + c = 0$:

$5t^2 - 14t + 8 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=5$, $b=-14$, $c=8$:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 8 = 196 - 160 = 36$

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{14 + 6}{10} = \frac{20}{10} = 2$ (с)

$t_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{14 - 6}{10} = \frac{8}{10} = 0,8$ (с)

Оба корня являются положительными, что физически возможно. Это означает, что мяч окажется на высоте 8 метров дважды: первый раз через 0,8 секунды после броска (во время подъема) и второй раз через 2 секунды (во время падения).

Ответ: через 0,8 с и через 2 с.