Номер 9, страница 334 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Задачи для повторения - номер 9, страница 334.

9. Исходя из того, что

Дано:

Формула проекции перемещения при равноускоренном движении:

$s_x = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

Формула проекции ускорения:

$a_x = \frac{v_x - v_{0x}}{t}$

Найти:

Вывести формулу $a_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2s_x}$.

Решение:

Для вывода искомой формулы необходимо исключить время $t$ из данных уравнений. Для этого выразим время $t$ из формулы ускорения:

$a_x = \frac{v_x - v_{0x}}{t} \implies t = \frac{v_x - v_{0x}}{a_x}$

Теперь подставим это выражение для $t$ в формулу перемещения $s_x$:

$s_x = v_{0x} \left( \frac{v_x - v_{0x}}{a_x} \right) + \frac{a_x}{2} \left( \frac{v_x - v_{0x}}{a_x} \right)^2$

Раскроем скобки и упростим выражение. Сначала первое слагаемое:

$v_{0x} \left( \frac{v_x - v_{0x}}{a_x} \right) = \frac{v_{0x}v_x - v_{0x}^2}{a_x}$

Теперь второе слагаемое, возведя дробь в квадрат:

$\frac{a_x}{2} \left( \frac{v_x - v_{0x}}{a_x} \right)^2 = \frac{a_x}{2} \frac{(v_x - v_{0x})^2}{a_x^2} = \frac{(v_x - v_{0x})^2}{2a_x}$

Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$\frac{v_x^2 - 2v_x v_{0x} + v_{0x}^2}{2a_x}$

Теперь сложим оба слагаемых, приведя их к общему знаменателю $2a_x$:

$s_x = \frac{v_{0x}v_x - v_{0x}^2}{a_x} + \frac{v_x^2 - 2v_x v_{0x} + v_{0x}^2}{2a_x} = \frac{2(v_{0x}v_x - v_{0x}^2)}{2a_x} + \frac{v_x^2 - 2v_x v_{0x} + v_{0x}^2}{2a_x}$

Объединим числители:

$s_x = \frac{2v_{0x}v_x - 2v_{0x}^2 + v_x^2 - 2v_x v_{0x} + v_{0x}^2}{2a_x}$

Сократим подобные члены в числителе ($2v_{0x}v_x$ и $-2v_x v_{0x}$, а также $-2v_{0x}^2$ и $+v_{0x}^2$):

$s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x}$

Мы получили связь между перемещением, скоростями и ускорением без времени. Осталось выразить из этой формулы ускорение $a_x$. Умножим обе части уравнения на $2a_x$:

$2a_x s_x = v_x^2 - v_{0x}^2$

Разделим обе части на $2s_x$:

$a_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2s_x}$

Таким образом, искомая формула выведена.

Ответ: Вывод формулы $a_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2s_x}$ из исходных уравнений $s_x = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$ и $a_x = \frac{v_x - v_{0x}}{t}$ показан выше.