Номер 118, страница 15 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. На катете $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) как на диаметре построена полуокружность, которая пересекает гипотенузу. Найдите длину дуги этой полуокружности, расположенной вне треугольника, если $\angle B = 36^\circ$, $BC = 6$ см.

118. На катете $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) как на диаметре построена полуокружность, которая пересекает гипотенузу. Найдите длину дуги этой полуокружности, расположенной вне треугольника, если $\angle B = 36^\circ$, $BC = 6$ см.

Пусть O — центр полуокружности, построенной на катете BC как на диаметре. Тогда точка O является серединой отрезка BC. Диаметр полуокружности равен длине катета $BC = 6$ см. Следовательно, радиус полуокружности $R$ равен: $R = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Пусть D — точка пересечения полуокружности с гипотенузой AB. Дуга полуокружности, расположенная вне треугольника ABC, это дуга DB. Чтобы найти ее длину, нужно определить величину центрального угла $\angle DOB$, который стягивает эту дугу.

Рассмотрим треугольник $\triangle OBD$. В этом треугольнике стороны OB и OD являются радиусами полуокружности, поэтому они равны: $OB = OD = R = 3$ см. Это означает, что треугольник $\triangle OBD$ — равнобедренный с основанием BD.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Угол $\angle OBD$ является частью угла $\angle B$ треугольника ABC, то есть $\angle OBD = \angle B = 36^\circ$. Следовательно, угол при основании $\angle ODB$ также равен $36^\circ$: $\angle ODB = \angle OBD = 36^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол при вершине O в треугольнике $\triangle OBD$, который и является искомым центральным углом $\angle DOB$: $\angle DOB = 180^\circ - (\angle OBD + \angle ODB) = 180^\circ - (36^\circ + 36^\circ) = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

Теперь найдем длину дуги DB по формуле длины дуги окружности: $L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R$, где $\alpha$ — градусная мера центрального угла, а $R$ — радиус. Подставим известные значения: $\alpha = 108^\circ$ и $R = 3$ см. $L_{DB} = \frac{108^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 3 = \frac{108}{360} \cdot 6\pi$. Сократим дробь $\frac{108}{360}$: $\frac{108}{360} = \frac{3 \cdot 36}{10 \cdot 36} = \frac{3}{10} = 0.3$. $L_{DB} = 0.3 \cdot 6\pi = 1.8\pi$ см.

Ответ: $1.8\pi$ см.