Номер 124, страница 15 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Длина окружности. Площадь круга. Вариант 1. Упражнения - номер 124, страница 15.

Условие 2017.

124. Найдите площадь круга, вписанного в сектор круга радиуса 3 см с хордой 2 см.

Условие 2021.

124. Найдите площадь круга, вписанного в сектор круга радиуса 3 см с хордой 2 см.

Решение.

Решение 2 (2021).

Пусть дан сектор круга с центром в точке $O$ и радиусом $R=3$ см. Концы радиусов, образующих сектор, обозначим $A$ и $B$. Хорда, стягивающая дугу сектора, равна $AB=2$ см.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle AOB$, где $OA=OB=R=3$ см. Проведем высоту $OM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $M$ — середина $AB$, и $AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Из прямоугольного треугольника $\triangle OMA$ по теореме Пифагора найдем высоту $OM$:$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Пусть в данный сектор вписан круг с центром в точке $O'$ и радиусом $r$. Центр вписанного круга лежит на биссектрисе угла сектора, то есть на луче $OM$. Вписанный круг касается радиусов $OA$, $OB$ и дуги $AB$.

Расстояние от центра $O'$ до радиуса $OA$ равно радиусу $r$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точками $O$, $O'$ и точкой касания $T$ на радиусе $OA$. В этом треугольнике $\triangle OTO'$ катет $O'T=r$. Угол при вершине $O$ равен половине центрального угла сектора, $\angle AOM$. Обозначим этот угол $\alpha$.

Найдем синус этого угла из треугольника $\triangle OMA$:$\sin(\alpha) = \frac{AM}{OA} = \frac{1}{3}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OTO'$ имеем: $\sin(\alpha) = \frac{O'T}{OO'} = \frac{r}{OO'}$.Отсюда выразим расстояние $OO'$ между центром сектора $O$ и центром вписанного круга $O'$:$OO' = \frac{r}{\sin(\alpha)} = \frac{r}{1/3} = 3r$.

Так как вписанный круг касается дуги сектора, расстояние от центра сектора $O$ до точки касания на дуге равно радиусу сектора $R$. Эта точка касания также лежит на линии центров $OO'$. Таким образом, расстояние $R$ можно представить как сумму расстояния между центрами $OO'$ и радиуса вписанного круга $r$:$R = OO' + r$.

Подставим известные значения и полученное выражение для $OO'$:$3 = 3r + r$$3 = 4r$$r = \frac{3}{4}$ см.

Теперь найдем площадь вписанного круга по формуле $S = \pi r^2$:$S = \pi \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \pi \frac{9}{16} = \frac{9\pi}{16}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{9\pi}{16}$ см$^2$.