Номер 129, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

129. Радиус круга равен 4 см. В нём проведена хорда, равная стороне правильного треугольника, вписанного в этот круг. Найдите площадь большего из сегментов, основанием которых является эта хорда.

129. Радиус круга равен 4 см. В нём проведена хорда, равная стороне правильного треугольника, вписанного в этот круг. Найдите площадь большего из сегментов, основанием которых является эта хорда.

Для решения задачи сначала найдем ключевые параметры, связанные с хордой: ее длину и центральный угол, который она стягивает.

По условию, длина хорды равна стороне правильного (равностороннего) треугольника, вписанного в круг. Сторона правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, вычисляется по формуле $a_n = 2R \sin(\frac{180^\circ}{n})$.

В нашем случае радиус $R = 4$ см, а для треугольника $n = 3$. Длина хорды $a$ будет равна:

$a = a_3 = 2 \cdot 4 \cdot \sin(\frac{180^\circ}{3}) = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Центральный угол $\alpha$, который стягивает сторона правильного вписанного n-угольника, равен $\alpha = \frac{360^\circ}{n}$. Для треугольника:

$\alpha = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.

Хорда делит круг на два сегмента. Площадь сегмента равна площади соответствующего сектора плюс или минус площадь треугольника, образованного хордой и двумя радиусами, проведенными к ее концам. Большему сегменту соответствует больший сектор.

Площадь большего сегмента равна сумме площади большего сектора и площади треугольника, образованного радиусами и хордой.

1. Найдем площадь треугольника ($S_{\triangle}$), образованного двумя радиусами ($R=4$ см) и хордой. Угол между радиусами равен $\alpha = 120^\circ$.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Найдем площадь большего сектора ($S_{сектор}$). Центральный угол, соответствующий этому сектору, равен $\beta = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$.

$S_{больший\_сектор} = \frac{\beta}{360^\circ} \cdot \pi R^2 = \frac{240^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 4^2 = \frac{2}{3} \cdot 16\pi = \frac{32\pi}{3}$ см$^2$.

3. Теперь найдем площадь большего сегмента ($S_{сегмент}$) как сумму площади большего сектора и площади треугольника:

$S_{больший\_сегмент} = S_{больший\_сектор} + S_{\triangle} = \frac{32\pi}{3} + 4\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $(\frac{32\pi}{3} + 4\sqrt{3})$ см$^2$.