Номер 125, страница 15 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

125. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке 6 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 6

а

Прямоугольник $ABCD$. Длина стороны $AD = 2$. Длина стороны $AB = 6$.

Из прямоугольника вырезаны два полукруга. Верхний полукруг имеет центр $O$ на стороне $BC$. Диаметр верхнего полукруга равен $BC = 2$. Диаметр нижнего полукруга равен $AD = 2$.

Радиус каждого полукруга составляет $1$.

б

Треугольник $O_1O_2O_3$. Длины сторон треугольника: $O_1O_2 = 2$, $O_2O_3 = 2$, $O_1O_3 = 3$.

Из вершин треугольника вырезаны три круговых сектора. Радиус сектора при вершине $O_1$ равен $1$. Радиус сектора при вершине $O_2$ равен $1$. Радиус сектора при вершине $O_3$ равен $1$.

в

Три касающиеся окружности с центрами $O_1, O_2, O_3$.

Радиус окружности с центром $O_1$ равен $2$.

Радиус окружности с центром $O_2$ равен $2$.

Радиус окружности с центром $O_3$ равен $2$.

125. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке 6 (длины отрезков даны в сантиметрах).

a

B O C

A D

2 6

б

$O_2$

2 2

1

3 1 3

$O_1$ $O_3$

1 2 3

в

2

$O_1$

2

$O_2$

2

$O_3$

а

Площадь заштрихованной фигуры равна площади прямоугольника ABCD за вычетом площадей двух вырезанных частей: полукруга сверху и четверти круга снизу.

1. Площадь прямоугольника.Стороны прямоугольника равны 6 см и 2 см.$S_{прям} = 6 \times 2 = 12$ см².

2. Площадь верхнего полукруга.Диаметр полукруга равен стороне BC, которая равна стороне AD = 2 см. Следовательно, радиус полукруга $r_1 = 2 / 2 = 1$ см.$S_{полукр} = \frac{1}{2} \pi r_1^2 = \frac{1}{2} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{2}$ см².

3. Площадь нижнего четверть круга.Четверть круга имеет центр в точке D и проходит через точку A. Следовательно, его радиус $r_2$ равен длине отрезка AD, то есть $r_2 = 2$ см.$S_{четв.кр} = \frac{1}{4} \pi r_2^2 = \frac{1}{4} \pi (2)^2 = \frac{4\pi}{4} = \pi$ см².

4. Площадь заштрихованной фигуры.$S_{фигуры} = S_{прям} - S_{полукр} - S_{четв.кр} = 12 - \frac{\pi}{2} - \pi = 12 - \frac{3\pi}{2}$ см².

Ответ: $(12 - \frac{3\pi}{2})$ см².

б

Площадь заштрихованной фигуры равна площади треугольника $O_1O_2O_3$ за вычетом площадей трех секторов с центрами в его вершинах. Аннотации на рисунке можно интерпретировать как описание трех взаимно касающихся окружностей с центрами в точках $O_1, O_2, O_3$ и радиусами $r_1, r_2, r_3$. Числа у вершин указывают на радиусы: $r_1=1$ см, $r_2=2$ см, $r_3=3$ см. Стороны треугольника равны суммам соответствующих радиусов.

1. Стороны и тип треугольника.- $O_1O_2 = r_1 + r_2 = 1 + 2 = 3$ см.- $O_2O_3 = r_2 + r_3 = 2 + 3 = 5$ см.- $O_3O_1 = r_3 + r_1 = 3 + 1 = 4$ см.Поскольку $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $O_1O_2O_3$ является прямоугольным. Прямой угол находится в вершине $O_1$, напротив самой длинной стороны (гипотенузы) $O_2O_3$.

2. Площадь треугольника.Катеты треугольника равны 3 см и 4 см.$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ см².

3. Площади секторов.Площадь сектора вычисляется по формуле $S_{сект} = \frac{1}{2} r^2 \theta$, где $\theta$ — угол в радианах.- Угол при вершине $O_1$ равен $\theta_1 = 90^\circ = \frac{\pi}{2}$ радиан. Радиус сектора $r_1=1$ см.$S_1 = \frac{1}{2} r_1^2 \theta_1 = \frac{1}{2} (1)^2 \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$ см².- Угол при вершине $O_2$ ($\theta_2$) имеет $\cos(\theta_2) = \frac{O_1O_2}{O_2O_3} = \frac{3}{5}$.- Угол при вершине $O_3$ ($\theta_3$) имеет $\cos(\theta_3) = \frac{O_1O_3}{O_2O_3} = \frac{4}{5}$.Площади двух других секторов:$S_2 = \frac{1}{2} r_2^2 \theta_2 = \frac{1}{2} (2)^2 \theta_2 = 2\theta_2 = 2\arccos(\frac{3}{5})$ см².$S_3 = \frac{1}{2} r_3^2 \theta_3 = \frac{1}{2} (3)^2 \theta_3 = \frac{9}{2}\theta_3 = \frac{9}{2}\arccos(\frac{4}{5})$ см².

4. Площадь заштрихованной фигуры.$S_{фигуры} = S_{\triangle} - (S_1 + S_2 + S_3) = 6 - \left(\frac{\pi}{4} + 2\arccos(\frac{3}{5}) + \frac{9}{2}\arccos(\frac{4}{5})\right)$.Используя тождество $\arccos(x) + \arcsin(x) = \frac{\pi}{2}$ и то, что $\theta_2+\theta_3=\frac{\pi}{2}$ (так как $\cos\theta_2 = \sin\theta_3 = 3/5$), преобразуем выражение:$S_{фигуры} = 6 - \left( \frac{\pi}{4} + 2\theta_2 + \frac{9}{2}(\frac{\pi}{2} - \theta_2) \right) = 6 - \left( \frac{\pi}{4} + 2\theta_2 + \frac{9\pi}{4} - \frac{9}{2}\theta_2 \right) = 6 - \left( \frac{10\pi}{4} - \frac{5}{2}\theta_2 \right) = 6 - \frac{5\pi}{2} + \frac{5}{2}\arccos(\frac{3}{5})$.

Ответ: $(6 - \frac{5\pi}{2} + \frac{5}{2}\arccos(\frac{3}{5}))$ см².

в

Заштрихованная фигура — это область, заключенная между тремя одинаковыми, взаимно касающимися окружностями. Ее площадь можно найти, вычтя из площади треугольника, соединяющего центры окружностей, площади трех секторов, находящихся внутри этого треугольника.

1. Площадь треугольника.Центры окружностей $O_1, O_2, O_3$ образуют равносторонний треугольник, так как все радиусы равны $r=2$ см. Сторона треугольника $a = r + r = 2 + 2 = 4$ см.$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см².

2. Площадь секторов.Углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Таким образом, каждый из трех секторов имеет угол $60^\circ$ и радиус $r=2$ см.Площадь одного сектора: $S_{сект} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \pi r^2 = \frac{1}{6} \pi (2)^2 = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ см².Общая площадь трех секторов: $S_{секторов} = 3 \times S_{сект} = 3 \times \frac{2\pi}{3} = 2\pi$ см².

3. Площадь заштрихованной фигуры.$S_{фигуры} = S_{\triangle} - S_{секторов} = 4\sqrt{3} - 2\pi$ см².

Ответ: $(4\sqrt{3} - 2\pi)$ см².