Номер 126, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Высота правильного треугольника равна $3\sqrt{3}$ см. На стороне этого треугольника как на диаметре построен полукруг, лежащий в той же полуплоскости, что и треугольник. Определите площадь части треугольника, находящейся вне полукруга.

126. Высота правильного треугольника равна $3\sqrt{3}$ см. На стороне этого треугольника как на диаметре построен полукруг, лежащий в той же полуплоскости, что и треугольник. Определите площадь части треугольника, находящейся вне полукруга.

Для того чтобы найти площадь части треугольника, находящейся вне полукруга, необходимо из общей площади треугольника вычесть площадь их общей части (площадь пересечения).

Найдем сторону и площадь правильного треугольника.Высота $h$ правильного треугольника связана с его стороной $a$ формулой $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.По условию $h = 3\sqrt{3}$ см, тогда:$3\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$a = 6$ см.Площадь правильного треугольника $S_{\triangle}$ со стороной $a$ равна:$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Найдем площадь общей части треугольника и полукруга.Полукруг построен на одной из сторон треугольника как на диаметре. Диаметр полукруга равен стороне $a=6$ см, значит, его радиус $r = \frac{a}{2} = 3$ см. Центр полукруга, обозначим его $O$, является серединой этой стороны.Пусть треугольник — это $ABC$, а полукруг построен на стороне $AC$. Полукруг пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Общая часть треугольника и полукруга — это фигура, площадь которой можно найти как сумму площадей двух треугольников, $\triangle OAM$ и $\triangle OCN$, и сектора $MON$.Рассмотрим $\triangle OAM$. В нем стороны $OA$ и $OM$ являются радиусами, поэтому $OA = OM = r = 3$ см. Угол $\angle OAM$ — это угол правильного треугольника, он равен $60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ является равносторонним. Значит, $\triangle OAM$ — равносторонний, и центральный угол $\angle AOM = 60^\circ$.Аналогично, $\triangle OCN$ также равносторонний, и $\angle CON = 60^\circ$.Центральный угол сектора $MON$ можно найти, зная, что $\angle AOC$ — развернутый ($180^\circ$):$\angle MON = 180^\circ - \angle AOM - \angle CON = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.Теперь вычислим площадь общей части, $S_{\text{внутри}}$:$S_{\text{внутри}} = S_{\triangle OAM} + S_{\triangle OCN} + S_{\text{сектора } MON}$Площадь равностороннего $\triangle OAM$ со стороной $r=3$ см:$S_{\triangle OAM} = \frac{r^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$ см².Площадь сектора $MON$ с радиусом $r=3$ см и углом $60^\circ$:$S_{\text{сектора } MON} = \frac{\pi r^2}{360^\circ} \cdot 60^\circ = \frac{\pi \cdot 3^2}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$ см².Суммируем площади:$S_{\text{внутри}} = S_{\triangle OAM} + S_{\triangle OCN} + S_{\text{сектора } MON} = \frac{9\sqrt{3}}{4} + \frac{9\sqrt{3}}{4} + \frac{3\pi}{2} = \frac{18\sqrt{3}}{4} + \frac{3\pi}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} + \frac{3\pi}{2}$ см².

Найдем искомую площадь.Площадь части треугольника вне полукруга, $S_{\text{вне}}$, — это разность общей площади треугольника и площади их пересечения:$S_{\text{вне}} = S_{\triangle} - S_{\text{внутри}} = 9\sqrt{3} - \left(\frac{9\sqrt{3}}{2} + \frac{3\pi}{2}\right)$$S_{\text{вне}} = 9\sqrt{3} - \frac{9\sqrt{3}}{2} - \frac{3\pi}{2} = \frac{18\sqrt{3} - 9\sqrt{3}}{2} - \frac{3\pi}{2} = \frac{9\sqrt{3} - 3\pi}{2}$ см².

Ответ: $\frac{3(3\sqrt{3} - \pi)}{2}$ см².