Номер 127, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 10 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $135^\circ$;

2) $210^\circ$.

127. Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 10 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $135^{\circ}$;

2) $210^{\circ}$.

Площадь кругового сегмента ($S_{сегм}$) можно найти как разность площади кругового сектора ($S_{сект}$) и площади треугольника ($S_{\triangle}$), образованного радиусами, ограничивающими сектор, и хордой, стягивающей дугу сегмента.

Общая формула для вычисления площади кругового сегмента:

$S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} - \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$

где $R$ — радиус круга, а $\alpha$ — градусная мера дуги сегмента.

По условию задачи, радиус круга $R = 10$ см.

1) Градусная мера дуги сегмента равна $135^{\circ}$.

Подставим известные значения в формулу. Радиус $R = 10$ см, угол $\alpha = 135^{\circ}$.

Сначала найдем площадь кругового сектора:

$S_{сект} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} = \frac{\pi \cdot 10^2 \cdot 135}{360} = \frac{100\pi \cdot 135}{360} = \frac{100\pi \cdot 3}{8} = \frac{75\pi}{2}$ см².

Теперь найдем площадь треугольника. Для этого нам понадобится значение $\sin(135^{\circ})$:

$\sin(135^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 10^2 \cdot \sin(135^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 25\sqrt{2}$ см².

Вычислим площадь сегмента:

$S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle} = \frac{75\pi}{2} - 25\sqrt{2}$ см².

Ответ: $\left( \frac{75\pi}{2} - 25\sqrt{2} \right)$ см².

2) Градусная мера дуги сегмента равна $210^{\circ}$.

Подставим известные значения в общую формулу. Радиус $R = 10$ см, угол $\alpha = 210^{\circ}$. Так как угол дуги больше $180^{\circ}$, мы ищем площадь большего сегмента. Формула остается прежней, но значение синуса будет отрицательным, что приведет к сложению площадей сектора и треугольника.

Найдем площадь кругового сектора:

$S_{сект} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} = \frac{\pi \cdot 10^2 \cdot 210}{360} = \frac{100\pi \cdot 210}{360} = \frac{100\pi \cdot 7}{12} = \frac{175\pi}{3}$ см².

Теперь найдем площадь треугольника. Для этого нам понадобится значение $\sin(210^{\circ})$:

$\sin(210^{\circ}) = \sin(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\sin(30^{\circ}) = -\frac{1}{2}$.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 10^2 \cdot \sin(210^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -25$ см².

Вычислим площадь сегмента:

$S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle} = \frac{175\pi}{3} - (-25) = \frac{175\pi}{3} + 25$ см².

Ответ: $\left( \frac{175\pi}{3} + 25 \right)$ см².