Номер 130, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

130. Радиус круга равен 2 см. По разные стороны от центра круга проведены параллельные хорды, равные соответственно сторонам правильного четырёхугольника и правильного шестиугольника, вписанных в этот круг. Найдите площадь части круга, находящейся между хордами.

130. Радиус круга равен 2 см. По разные стороны от центра круга проведены параллельные хорды, равные соответственно сторонам правильного четырёхугольника и правильного шестиугольника, вписанных в этот круг. Найдите площадь части круга, находящейся между хордами.

Для решения задачи найдем площадь части круга, расположенной между двумя параллельными хордами. Эта площадь равна площади всего круга за вычетом площадей двух сегментов, отсекаемых этими хордами с внешней стороны.

Дан радиус круга $R = 2$ см.

1. Нахождение параметров хорд

Первая хорда ($a_4$) равна стороне правильного четырехугольника (квадрата), вписанного в круг. Длина стороны такого квадрата вычисляется по формуле $a_n = 2R \sin(\frac{180^\circ}{n})$ для $n=4$:$a_4 = 2R \sin(\frac{180^\circ}{4}) = 2R \sin(45^\circ) = 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.Центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $\alpha_4 = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

Вторая хорда ($a_6$) равна стороне правильного шестиугольника, вписанного в круг. Длина стороны такого шестиугольника равна радиусу круга:$a_6 = R = 2$ см.Центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $\alpha_6 = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$ радиан.

2. Вычисление площадей сегментов

Площадь сегмента круга вычисляется как разность площади соответствующего сектора и площади треугольника, образованного хордой и двумя радиусами.

Площадь сегмента, отсекаемого хордой $a_4$:$S_{сег4} = S_{сектор4} - S_{\triangle4}$$S_{сектор4} = \frac{1}{2}R^2 \alpha_4 = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$ см$^2$.$S_{\triangle4} = \frac{1}{2}R^2 \sin(\alpha_4) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \sin(90^\circ) = 2 \cdot 1 = 2$ см$^2$.$S_{сег4} = \pi - 2$ см$^2$.

Площадь сегмента, отсекаемого хордой $a_6$:$S_{сег6} = S_{сектор6} - S_{\triangle6}$$S_{сектор6} = \frac{1}{2}R^2 \alpha_6 = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ см$^2$.$S_{\triangle6} = \frac{1}{2}R^2 \sin(\alpha_6) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см$^2$.$S_{сег6} = \frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}$ см$^2$.

3. Нахождение искомой площади

Площадь всего круга равна:$S_{круга} = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см$^2$.

Искомая площадь части круга между хордами ($S$) равна площади круга минус площади двух внешних сегментов:$S = S_{круга} - S_{сег4} - S_{сег6}$$S = 4\pi - (\pi - 2) - (\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3})$$S = 4\pi - \pi + 2 - \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}$$S = 3\pi - \frac{2\pi}{3} + 2 + \sqrt{3}$$S = \frac{9\pi - 2\pi}{3} + 2 + \sqrt{3}$$S = \frac{7\pi}{3} + 2 + \sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $(\frac{7\pi}{3} + 2 + \sqrt{3})$ см$^2$.