Номер 137, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. В треугольнике $ABC$ $A (3; -1)$, $B (-5; 7)$, $C (1; 5)$. Найдите среднюю линию $KP$ треугольника $ABC$, где точки $K$ и $P$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно.

137. В треугольнике $ABC$ $A(3; -1)$, $B(-5; 7)$, $C(1; 5)$. Найдите среднюю линию $KP$ треугольника $ABC$, где точки $K$ и $P$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно.

Для нахождения длины средней линии $KP$ можно воспользоваться одним из двух способов.

Способ 1: Использование свойства средней линии

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. Средняя линия $KP$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, её длина равна половине длины стороны $AC$.

1. Найдём длину стороны $AC$, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Координаты вершин: $A(3; -1)$ и $C(1; 5)$.

$|AC| = \sqrt{(1 - 3)^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$.

2. Упростим полученное значение: $\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$.

3. Длина средней линии $KP$ равна половине длины $AC$:

$|KP| = \frac{1}{2} |AC| = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{10} = \sqrt{10}$.

Способ 2: Нахождение координат середин сторон

1. Найдём координаты точки $K$ — середины стороны $AB$ по формулам $x_K = \frac{x_A + x_B}{2}$ и $y_K = \frac{y_A + y_B}{2}$.

Координаты вершин: $A(3; -1)$ и $B(-5; 7)$.

$x_K = \frac{3 + (-5)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_K = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, координаты точки $K(-1; 3)$.

2. Найдём координаты точки $P$ — середины стороны $BC$.

Координаты вершин: $B(-5; 7)$ и $C(1; 5)$.

$x_P = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$y_P = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Таким образом, координаты точки $P(-2; 6)$.

3. Найдём длину отрезка $KP$ по формуле расстояния между точками $K(-1; 3)$ и $P(-2; 6)$.

$|KP| = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\sqrt{10}$.