Номер 142, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

142. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $A (-3; -2)$, $B (5; 3)$, $C (3; -5)$. Найдите координаты вершины $D$.

142. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $A (-3; -2)$, $B (5; 3)$, $C (3; -5)$. Найдите координаты вершины $D$.

Для решения задачи воспользуемся свойством параллелограмма: его диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что середина диагонали $AC$ совпадает с серединой диагонали $BD$.

Пусть координаты вершины $D$ равны $(x, y)$.

1. Найдём координаты середины диагонали $AC$.

Координаты середины отрезка находятся по формулам:
$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Для диагонали $AC$ с вершинами $A(-3; -2)$ и $C(3; -5)$ координаты её середины (назовём её точкой $O$) будут:
$x_O = \frac{-3 + 3}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y_O = \frac{-2 + (-5)}{2} = \frac{-7}{2} = -3.5$
Таким образом, точка пересечения диагоналей $O$ имеет координаты $(0; -3.5)$.

2. Найдём координаты вершины $D$.

Точка $O(0; -3.5)$ также является серединой диагонали $BD$ с вершинами $B(5; 3)$ и $D(x; y)$. Составим уравнения, используя те же формулы для середины отрезка:
$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} \Rightarrow 0 = \frac{5 + x}{2}$
$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} \Rightarrow -3.5 = \frac{3 + y}{2}$

Решим эти уравнения:
Для координаты $x$:
$0 \cdot 2 = 5 + x$
$0 = 5 + x$
$x = -5$

Для координаты $y$:
$-3.5 \cdot 2 = 3 + y$
$-7 = 3 + y$
$y = -7 - 3$
$y = -10$

Следовательно, вершина $D$ имеет координаты $(-5; -10)$.

Ответ: $D(-5; -10)$.