Номер 145, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-2; 1)$, $B (1; 4)$, $C (5; 0)$ и $D (2; -3)$ является прямоугольником.

145. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-2; 1)$, $B (1; 4)$, $C (5; 0)$ и $D (2; -3)$ является прямоугольником.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, мы воспользуемся методом координат. Мы докажем, что ABCD — это параллелограмм, у которого есть прямой угол.

Сначала найдем угловые коэффициенты сторон четырехугольника по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Координаты вершин: A(-2; 1), B(1; 4), C(5; 0) и D(2; -3).

Угловой коэффициент стороны AB: $k_{AB} = \frac{4 - 1}{1 - (-2)} = \frac{3}{3} = 1$.
Угловой коэффициент стороны BC: $k_{BC} = \frac{0 - 4}{5 - 1} = \frac{-4}{4} = -1$.
Угловой коэффициент стороны CD: $k_{CD} = \frac{-3 - 0}{2 - 5} = \frac{-3}{-3} = 1$.
Угловой коэффициент стороны DA: $k_{DA} = \frac{1 - (-3)}{-2 - 2} = \frac{4}{-4} = -1$.

Теперь сравним угловые коэффициенты противолежащих сторон.
Так как $k_{AB} = k_{CD} = 1$, то стороны AB и CD параллельны ($AB \parallel CD$).
Так как $k_{BC} = k_{DA} = -1$, то стороны BC и DA параллельны ($BC \parallel DA$).
Поскольку противолежащие стороны четырехугольника попарно параллельны, ABCD является параллелограммом.

Далее проверим, есть ли у этого параллелограмма прямой угол. Две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1 ($k_1 \cdot k_2 = -1$). Проверим это условие для смежных сторон AB и BC:
$k_{AB} \cdot k_{BC} = 1 \cdot (-1) = -1$.
Поскольку произведение угловых коэффициентов сторон AB и BC равно -1, эти стороны перпендикулярны ($AB \perp BC$), следовательно, угол $\angle ABC$ — прямой.

Так как ABCD является параллелограммом с прямым углом, по определению он является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник ABCD является прямоугольником, поскольку его противолежащие стороны попарно параллельны ($k_{AB} = k_{CD}$ и $k_{BC} = k_{DA}$), а смежные стороны перпендикулярны ($k_{AB} \cdot k_{BC} = -1$).