Номер 143, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

143. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках $A (3; -4)$, $B (-6; 1)$, $C (-5; 2)$ и $D (4; -3)$ является параллелограммом.

143. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (3; -4)$, $B (-6; 1)$, $C (-5; 2)$ и $D (4; -3)$ является параллелограммом.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, можно воспользоваться одним из его признаков. Согласно одному из признаков, четырёхугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середины его диагоналей AC и BD должны иметь одинаковые координаты.

Координаты вершин четырёхугольника: A(3; -4), B(-6; 1), C(-5; 2) и D(4; -3).

Координаты $(x_m; y_m)$ середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляются по формулам:

$x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Найдём середину диагонали AC

Концами этой диагонали являются точки A(3; -4) и C(-5; 2). Пусть O₁ — середина AC. Найдём её координаты:

$x_{O_1} = \frac{3 + (-5)}{2} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_{O_1} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, середина диагонали AC — это точка O₁ с координатами (-1; -1).

Найдём середину диагонали BD

Концами этой диагонали являются точки B(-6; 1) и D(4; -3). Пусть O₂ — середина BD. Найдём её координаты:

$x_{O_2} = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_{O_2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, середина диагонали BD — это точка O₂ с координатами (-1; -1).

Поскольку координаты середин диагоналей AC и BD совпадают ($O_1(-1; -1) = O_2(-1; -1)$), диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Это доказывает, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Ответ: Так как середины диагоналей AC и BD совпадают в точке с координатами (-1; -1), четырёхугольник ABCD является параллелограммом, что и требовалось доказать.