Номер 136, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Точки $C_1 (2; -3)$ и $A_1 (-4; 1)$ — середины сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. Вершина $A$ имеет координаты $(5; 6)$. Найдите координаты вершин $B$ и $C$.

136. Точки $C_1 (2; -3)$ и $A_1 (-4; 1)$ — середины сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. Вершина $A$ имеет координаты $(5; 6)$. Найдите координаты вершин $B$ и $C$.

Пусть координаты вершин треугольника $ABC$ будут $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ и $C(x_C, y_C)$.
По условию задачи нам даны:
Координаты вершины $A(5; 6)$.
Координаты точки $C_1(2; -3)$, которая является серединой стороны $AB$.
Координаты точки $A_1(-4; 1)$, которая является серединой стороны $BC$.

Координаты $(x_m, y_m)$ середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляются по формулам:
$x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Координаты вершины B

Точка $C_1(2; -3)$ является серединой отрезка $AB$. Используя формулы для координат середины отрезка, мы можем записать:
$x_{C_1} = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_{C_1} = \frac{y_A + y_B}{2}$
Подставим известные значения координат точек $A(5; 6)$ и $C_1(2; -3)$ и выразим координаты точки $B$:
$2 = \frac{5 + x_B}{2} \Rightarrow 4 = 5 + x_B \Rightarrow x_B = 4 - 5 = -1$
$-3 = \frac{6 + y_B}{2} \Rightarrow -6 = 6 + y_B \Rightarrow y_B = -6 - 6 = -12$
Следовательно, вершина $B$ имеет координаты $(-1; -12)$.
Ответ: $B(-1; -12)$.

Координаты вершины C

Точка $A_1(-4; 1)$ является серединой отрезка $BC$. Используя те же формулы, мы можем записать:
$x_{A_1} = \frac{x_B + x_C}{2}$
$y_{A_1} = \frac{y_B + y_C}{2}$
Подставим известные значения координат точек $B(-1; -12)$ и $A_1(-4; 1)$ и выразим координаты точки $C$:
$-4 = \frac{-1 + x_C}{2} \Rightarrow -8 = -1 + x_C \Rightarrow x_C = -8 + 1 = -7$
$1 = \frac{-12 + y_C}{2} \Rightarrow 2 = -12 + y_C \Rightarrow y_C = 2 + 12 = 14$
Следовательно, вершина $C$ имеет координаты $(-7; 14)$.
Ответ: $C(-7; 14)$.