Номер 139, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек $A(3; -2)$ и $B(1; 2)$.

139. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек $A(3; -2)$ и $B(1; 2)$.

Пусть искомая точка $C$ лежит на оси абсцисс (оси $Ox$). Любая точка, лежащая на оси абсцисс, имеет ординату (координату $y$), равную нулю. Следовательно, координаты точки $C$ можно записать как $(x; 0)$, где $x$ — неизвестная абсцисса.

По условию задачи, точка $C$ равноудалена от точек $A(3; -2)$ и $B(1; 2)$. Это означает, что расстояние от $C$ до $A$ равно расстоянию от $C$ до $B$:
$AC = BC$.

Расстояние $d$ между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Чтобы упростить вычисления, будем использовать квадраты расстояний. Если расстояния равны, то и их квадраты равны:
$AC^2 = BC^2$.

Вычислим квадрат расстояния $AC$ между точками $A(3; -2)$ и $C(x; 0)$:
$AC^2 = (x - 3)^2 + (0 - (-2))^2 = (x - 3)^2 + 2^2 = x^2 - 6x + 9 + 4 = x^2 - 6x + 13$.

Вычислим квадрат расстояния $BC$ между точками $B(1; 2)$ и $C(x; 0)$:
$BC^2 = (x - 1)^2 + (0 - 2)^2 = (x - 1)^2 + (-2)^2 = x^2 - 2x + 1 + 4 = x^2 - 2x + 5$.

Теперь приравняем полученные выражения для квадратов расстояний и решим уравнение относительно $x$:
$x^2 - 6x + 13 = x^2 - 2x + 5$
Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а постоянные члены — в другую:
$-6x + 2x = 5 - 13$
$-4x = -8$
$x = \frac{-8}{-4}$
$x = 2$

Таким образом, абсцисса искомой точки равна 2. Координаты точки $C$ — $(2; 0)$.

Ответ: $(2; 0)$