Номер 146, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (2; 1)$, $B (5; -3)$, $C (9; 0)$ и $D (6; 4)$ является квадратом.

146. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (2; 1)$, $B (5; -3)$, $C (9; 0)$ и $D (6; 4)$ является квадратом.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, необходимо установить, что все его стороны равны между собой, и что его диагонали также равны.

Для нахождения длин отрезков будем использовать формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Координаты вершин заданы: A(2; 1), B(5; -3), C(9; 0) и D(6; 4).

Сначала найдем длины всех сторон четырехугольника:

• Длина стороны AB: $AB = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
• Длина стороны BC: $BC = \sqrt{(9 - 5)^2 + (0 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
• Длина стороны CD: $CD = \sqrt{(6 - 9)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
• Длина стороны DA: $DA = \sqrt{(2 - 6)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Поскольку $AB = BC = CD = DA = 5$, все стороны четырехугольника равны. Это означает, что ABCD является ромбом.

Теперь найдем длины диагоналей AC и BD:

• Длина диагонали AC: $AC = \sqrt{(9 - 2)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}$
• Длина диагонали BD: $BD = \sqrt{(6 - 5)^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}$

Поскольку $AC = BD = \sqrt{50}$, диагонали четырехугольника равны.

Так как четырехугольник ABCD является ромбом (все стороны равны) и его диагонали равны, то по определению он является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.