Номер 147, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

147. Найдите координаты вершины $A$ равностороннего треугольника $ABC$, если известны координаты вершин $B$ $(-2; 0)$ и $C$ $(4; 0)$.

147. Найдите координаты вершины $A$ равностороннего треугольника $ABC$, если известны координаты вершин $B$ $(-2; 0)$ и $C$ $(4; 0)$.

Пусть искомая вершина A имеет координаты $(x, y)$.

По условию, треугольник $ABC$ является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны: $AB = BC = AC$.

1. Найдём длину стороны BC.

Длину отрезка между точками $B(-2; 0)$ и $C(4; 0)$ можно найти по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$: $BC = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(4 + 2)^2 + 0^2} = \sqrt{6^2} = 6$.

Так как треугольник равносторонний, то длины сторон $AB$ и $AC$ также равны 6. $AB = 6 \implies AB^2 = 36$ $AC = 6 \implies AC^2 = 36$

2. Составим уравнения для длин сторон AB и AC.

Расстояние от точки $A(x, y)$ до точки $B(-2, 0)$: $AB^2 = (x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = (x + 2)^2 + y^2$.

Расстояние от точки $A(x, y)$ до точки $C(4, 0)$: $AC^2 = (x - 4)^2 + (y - 0)^2 = (x - 4)^2 + y^2$.

3. Составим и решим систему уравнений.

Так как $AB^2 = 36$ и $AC^2 = 36$, мы получаем систему: $\begin{cases} (x + 2)^2 + y^2 = 36 \\ (x - 4)^2 + y^2 = 36 \end{cases}$

Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части: $(x + 2)^2 + y^2 = (x - 4)^2 + y^2$ $(x + 2)^2 = (x - 4)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и квадрата разности: $x^2 + 4x + 4 = x^2 - 8x + 16$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а константы — в правую: $4x + 8x = 16 - 4$ $12x = 12$ $x = 1$

4. Найдем координату y.

Подставим найденное значение $x=1$ в любое из уравнений системы, например, в первое: $(1 + 2)^2 + y^2 = 36$ $3^2 + y^2 = 36$ $9 + y^2 = 36$ $y^2 = 36 - 9$ $y^2 = 27$ $y = \pm\sqrt{27} = \pm\sqrt{9 \cdot 3} = \pm 3\sqrt{3}$

Таким образом, существуют две возможные точки для вершины A, которые симметричны относительно прямой, содержащей сторону BC (в данном случае, оси Ox).

Ответ: $(1; 3\sqrt{3})$ или $(1; -3\sqrt{3})$.