Номер 152, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

152. Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (3; -6), B (-1; 4).

152. Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок $AB$, если $A (3; -6)$, $B (-1; 4)$.

Уравнение окружности в общем виде записывается как $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

1. Нахождение координат центра окружности

Центр окружности $C(x_0; y_0)$ является серединой ее диаметра $AB$. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат его концов. Для точек $A(3; -6)$ и $B(-1; 4)$ имеем:

$x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, центр окружности — точка $C(1; -1)$.

2. Нахождение радиуса окружности

Радиус окружности $R$ равен половине длины диаметра $AB$. Для уравнения окружности нам нужен квадрат радиуса, $R^2$. Найдем сначала квадрат длины диаметра $AB$ по формуле расстояния между двумя точками $(d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2)$:

$AB^2 = (-1 - 3)^2 + (4 - (-6))^2 = (-4)^2 + (10)^2 = 16 + 100 = 116$

Квадрат радиуса равен четверти квадрата диаметра:

$R^2 = \frac{AB^2}{4} = \frac{116}{4} = 29$

Также можно было найти $R^2$ как квадрат расстояния от центра $C(1; -1)$ до одной из точек на окружности, например, до точки $A(3; -6)$:

$R^2 = (3 - 1)^2 + (-6 - (-1))^2 = 2^2 + (-5)^2 = 4 + 25 = 29$

3. Составление уравнения окружности

Теперь подставим найденные координаты центра $x_0 = 1$, $y_0 = -1$ и квадрат радиуса $R^2 = 29$ в общую формулу уравнения окружности:

$(x - 1)^2 + (y - (-1))^2 = 29$

$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 29$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 29$