Номер 155, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. Составьте уравнение окружности, проходящей через точку $D(-8; -2)$, центр которой принадлежит оси ординат, а радиус равен 10.

155. Составьте уравнение окружности, проходящей через точку $D (-8; -2)$, центр которой принадлежит оси ординат, а радиус равен 10.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

По условию задачи, центр окружности принадлежит оси ординат, следовательно, его абсцисса $x_0 = 0$. Таким образом, центр окружности имеет координаты $C(0; y_0)$.

Радиус окружности, согласно условию, равен $R = 10$.

Подставим известные значения в общее уравнение окружности:

$(x - 0)^2 + (y - y_0)^2 = 10^2$

$x^2 + (y - y_0)^2 = 100$

Также известно, что окружность проходит через точку $D(-8; -2)$. Это означает, что координаты точки $D$ должны удовлетворять уравнению окружности. Подставим $x = -8$ и $y = -2$ в полученное уравнение, чтобы найти значение $y_0$:

$(-8)^2 + (-2 - y_0)^2 = 100$

$64 + (-2 - y_0)^2 = 100$

Вычтем 64 из обеих частей уравнения:

$(-2 - y_0)^2 = 100 - 64$

$(-2 - y_0)^2 = 36$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Это дает два возможных случая:

1) $-2 - y_0 = 6$

$-y_0 = 6 + 2$

$-y_0 = 8$

$y_0 = -8$

2) $-2 - y_0 = -6$

$-y_0 = -6 + 2$

$-y_0 = -4$

$y_0 = 4$

Таким образом, мы нашли два возможных центра для окружности: $C_1(0; -8)$ и $C_2(0; 4)$. Следовательно, существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи.

1. Для центра $C_1(0; -8)$ уравнение окружности будет:

$x^2 + (y - (-8))^2 = 100$

$x^2 + (y + 8)^2 = 100$

2. Для центра $C_2(0; 4)$ уравнение окружности будет:

$x^2 + (y - 4)^2 = 100$

Ответ: $x^2 + (y + 8)^2 = 100$ и $x^2 + (y - 4)^2 = 100$.