Номер 148, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

148. Точки $A(-3; 1)$, $B(2; 4)$ и $C(1; -3)$ — середины сторон некоторого треугольника. Найдите координаты его вершин.

148. Точки $A(-3; 1)$, $B(2; 4)$ и $C(1; -3)$ — середины сторон некоторого треугольника. Найдите координаты его вершин.

Пусть вершины искомого треугольника имеют координаты $V_1(x_1, y_1)$, $V_2(x_2, y_2)$ и $V_3(x_3, y_3)$.

Точки $A(-3; 1)$, $B(2; 4)$ и $C(1; -3)$ являются серединами его сторон. Допустим, что точка $A$ — середина стороны $V_1V_2$, точка $B$ — середина стороны $V_2V_3$, а точка $C$ — середина стороны $V_3V_1$.

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_a, y_a)$ и $(x_b, y_b)$ вычисляются по формулам: $x_m = \frac{x_a + x_b}{2}$ и $y_m = \frac{y_a + y_b}{2}$.

Применяя эти формулы, мы можем составить две системы уравнений: одну для $x$-координат и одну для $y$-координат.

Система уравнений для $x$-координат:
Для середины $A$: $\frac{x_1 + x_2}{2} = -3 \implies x_1 + x_2 = -6$ (1)
Для середины $B$: $\frac{x_2 + x_3}{2} = 2 \implies x_2 + x_3 = 4$ (2)
Для середины $C$: $\frac{x_3 + x_1}{2} = 1 \implies x_3 + x_1 = 2$ (3)

Система уравнений для $y$-координат:
Для середины $A$: $\frac{y_1 + y_2}{2} = 1 \implies y_1 + y_2 = 2$ (4)
Для середины $B$: $\frac{y_2 + y_3}{2} = 4 \implies y_2 + y_3 = 8$ (5)
Для середины $C$: $\frac{y_3 + y_1}{2} = -3 \implies y_3 + y_1 = -6$ (6)

Сначала решим систему для $x$-координат. Сложим все три уравнения (1), (2) и (3):
$(x_1 + x_2) + (x_2 + x_3) + (x_3 + x_1) = -6 + 4 + 2$
$2x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 0$
$x_1 + x_2 + x_3 = 0$

Теперь, вычитая из этого результата поочередно уравнения (1), (2) и (3), находим значения $x_1, x_2, x_3$:
$x_3 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_1 + x_2) = 0 - (-6) = 6$
$x_1 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_2 + x_3) = 0 - 4 = -4$
$x_2 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_3 + x_1) = 0 - 2 = -2$

Далее решим систему для $y$-координат. Сложим все три уравнения (4), (5) и (6):
$(y_1 + y_2) + (y_2 + y_3) + (y_3 + y_1) = 2 + 8 - 6$
$2y_1 + 2y_2 + 2y_3 = 4$
$y_1 + y_2 + y_3 = 2$

Аналогично, вычитая из этого результата поочередно уравнения (4), (5) и (6), находим значения $y_1, y_2, y_3$:
$y_3 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_1 + y_2) = 2 - 2 = 0$
$y_1 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_2 + y_3) = 2 - 8 = -6$
$y_2 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_3 + y_1) = 2 - (-6) = 8$

Таким образом, координаты вершин треугольника:
$V_1(-4; -6)$
$V_2(-2; 8)$
$V_3(6; 0)$

Ответ: Координаты вершин треугольника: $(-4; -6)$, $(-2; 8)$, $(6; 0)$.