Номер 157, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

157. Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением $x^2 - 4x + y^2 + 6y + 9 = 0$. Определите положение точек A $(1; -5)$, B $(4; -3)$ и C $(3; -2)$ относительно этой окружности.

157. Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением $x^2 - 4x + y^2 + 6y + 9 = 0$. Определите положение точек A (1; -5), B (4; -3) и C (3; -2) относительно этой окружности.

1. Нахождение координат центра и радиуса окружности

Для нахождения центра и радиуса окружности необходимо привести ее уравнение $x^2 - 4x + y^2 + 6y + 9 = 0$ к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. Для этого используем метод выделения полного квадрата.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:
$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + 9 = 0$

Дополним каждую группу до полного квадрата. Для выражения $x^2 - 4x$ нужно добавить и вычесть $(\frac{-4}{2})^2 = 4$. Для выражения $y^2 + 6y$ нужно добавить и вычесть $(\frac{6}{2})^2 = 9$.

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 6y + 9) - 9 + 9 = 0$

Теперь свернем полные квадраты:
$(x-2)^2 - 4 + (y+3)^2 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 4$

Сравнивая полученное уравнение с каноническим видом $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, находим:
Координаты центра окружности: $(a; b) = (2; -3)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 4$, следовательно, радиус $R = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: Центр окружности находится в точке $(2; -3)$, радиус равен 2.

2. Определение положения точек A, B и C

Чтобы определить положение точки относительно окружности, нужно подставить ее координаты в левую часть канонического уравнения $(x-2)^2 + (y+3)^2$ и сравнить полученное значение с квадратом радиуса $R^2=4$.
- Если результат меньше $R^2$, точка лежит внутри окружности.
- Если результат равен $R^2$, точка лежит на окружности.
- Если результат больше $R^2$, точка лежит вне окружности.

Положение точки A (1; –5)
Подставляем координаты точки А в выражение $(x-2)^2 + (y+3)^2$:
$(1-2)^2 + (-5+3)^2 = (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$
Так как $5 > 4$ (то есть результат больше $R^2$), точка А лежит вне окружности.

Ответ: Точка А лежит вне окружности.

Положение точки B (4; –3)
Подставляем координаты точки B в выражение $(x-2)^2 + (y+3)^2$:
$(4-2)^2 + (-3+3)^2 = 2^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4$
Так как $4 = 4$ (то есть результат равен $R^2$), точка B лежит на окружности.

Ответ: Точка B лежит на окружности.

Положение точки C (3; –2)
Подставляем координаты точки C в выражение $(x-2)^2 + (y+3)^2$:
$(3-2)^2 + (-2+3)^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$
Так как $2 < 4$ (то есть результат меньше $R^2$), точка C лежит внутри окружности.

Ответ: Точка C лежит внутри окружности.