Номер 163, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

163. Точки A (-4; 1), B (3; 4) и C (-1; -6) — вершины треугольника ABC. Составьте уравнение прямой, содержащей медиану AM треугольника ABC.

163. Точки $A(-4; 1)$, $B(3; 4)$ и $C(-1; -6)$ — вершины треугольника $ABC$. Составьте уравнение прямой, содержащей медиану $AM$ треугольника $ABC$.

Медиана $AM$ треугольника $ABC$ соединяет вершину $A$ с серединой стороны $BC$. Обозначим середину стороны $BC$ как точку $M$.

Для начала найдём координаты точки $M$. Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_B + x_C}{2}$

$y_M = \frac{y_B + y_C}{2}$

Подставим в эти формулы координаты точек $B(3; 4)$ и $C(-1; -6)$:

$x_M = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_M = \frac{4 + (-6)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Следовательно, точка $M$ имеет координаты $(1; -1)$.

Теперь нам нужно составить уравнение прямой, которая проходит через две известные точки: $A(-4; 1)$ и $M(1; -1)$. Для этого воспользуемся каноническим уравнением прямой, проходящей через две точки $(x_A; y_A)$ и $(x_M; y_M)$:

$\frac{x - x_A}{x_M - x_A} = \frac{y - y_A}{y_M - y_A}$

Подставим координаты точек $A$ и $M$ в это уравнение:

$\frac{x - (-4)}{1 - (-4)} = \frac{y - 1}{-1 - 1}$

$\frac{x + 4}{5} = \frac{y - 1}{-2}$

Преобразуем полученное уравнение в общий вид $Ax + By + C = 0$, используя основное свойство пропорции:

$-2(x + 4) = 5(y - 1)$

Раскроем скобки:

$-2x - 8 = 5y - 5$

Перенесём все слагаемые в одну сторону:

$2x + 5y + 8 - 5 = 0$

$2x + 5y + 3 = 0$

Это и есть искомое уравнение прямой, содержащей медиану $AM$.

Ответ: $2x + 5y + 3 = 0$.