Номер 167, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

167. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки $A (2; -3)$ и $B (-6; -1)$.

167. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки $A (2; -3)$ и $B (-6; -1)$.

Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две заданные точки A и B, есть серединный перпендикуляр к отрезку AB. Это означает, что любая точка M(x, y), являющаяся центром такой окружности, равноудалена от точек A и B. Расстояние от центра до любой из этих точек является радиусом окружности.

Таким образом, для любой точки M(x, y), принадлежащей искомому геометрическому месту, должно выполняться равенство $MA = MB$. Для удобства вычислений будем использовать равенство квадратов этих расстояний: $MA^2 = MB^2$.

Координаты заданных точек: A(2; -3) и B(-6; -1).

Квадрат расстояния от точки M(x, y) до точки A(2; -3) вычисляется по формуле:

$MA^2 = (x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = (x - 2)^2 + (y + 3)^2$

Квадрат расстояния от точки M(x, y) до точки B(-6; -1) вычисляется по формуле:

$MB^2 = (x - (-6))^2 + (y - (-1))^2 = (x + 6)^2 + (y + 1)^2$

Приравняем эти два выражения:

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = (x + 6)^2 + (y + 1)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = (x^2 + 12x + 36) + (y^2 + 2y + 1)$

Сократим $x^2$ и $y^2$ в обеих частях уравнения:

$-4x + 4 + 6y + 9 = 12x + 36 + 2y + 1$

Упростим обе части:

$-4x + 6y + 13 = 12x + 2y + 37$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить уравнение прямой в общем виде $Ax + By + C = 0$:

$12x + 4x + 2y - 6y + 37 - 13 = 0$

$16x - 4y + 24 = 0$

Разделим все уравнение на 4 для упрощения:

$4x - y + 6 = 0$

Это и есть искомое уравнение геометрического места центров.

Ответ: $4x - y + 6 = 0$