Номер 165, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

165. Докажите, что окружность $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 17$ и прямая $x - y = 8$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

165. Докажите, что окружность $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 17$ и прямая $x - y = 8$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

Чтобы доказать, что окружность и прямая пересекаются, и найти координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнения окружности и уравнения прямой. Если система имеет одно или два действительных решения, то окружность и прямая пересекаются.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases}(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 17 \\x - y = 8\end{cases}$

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = y + 8$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$((y + 8) - 2)^2 + (y + 3)^2 = 17$

Упростим полученное уравнение:

$(y + 6)^2 + (y + 3)^2 = 17$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(y^2 + 12y + 36) + (y^2 + 6y + 9) = 17$

Приведем подобные слагаемые:

$2y^2 + 18y + 45 = 17$

$2y^2 + 18y + 45 - 17 = 0$

$2y^2 + 18y + 28 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2, чтобы упростить его:

$y^2 + 9y + 14 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$

Так как дискриминант $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это доказывает, что прямая и окружность пересекаются в двух точках.

Найдем корни уравнения (координаты $y$ точек пересечения):

$y_1 = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 5}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

$y_2 = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя уравнение $x = y + 8$:

При $y_1 = -7$:

$x_1 = -7 + 8 = 1$

Первая точка пересечения имеет координаты $(1, -7)$.

При $y_2 = -2$:

$x_2 = -2 + 8 = 6$

Вторая точка пересечения имеет координаты $(6, -2)$.

Ответ: окружность и прямая пересекаются, что доказано наличием двух действительных решений у системы уравнений. Координаты точек пересечения: $(1, -7)$ и $(6, -2)$.