Номер 156, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

156. Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности:

1) $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 7 = 0;$

2) $x^2 + y^2 - 8y = 0.$

156. Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности:

1) $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 7 = 0;$

2) $x^2 + y^2 - 8y = 0.$

1) Чтобы доказать, что уравнение $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 7 = 0$ является уравнением окружности, необходимо привести его к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ - это координаты центра окружности, а $R$ - ее радиус.

Сначала сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$:

$(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) - 7 = 0$

Затем дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата, используя формулу квадрата разности $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$.

Для выражения с $x$, $(x^2 - 2x)$, необходимо добавить и вычесть $(2/2)^2 = 1^2 = 1$:

$(x^2 - 2x + 1) - 1 = (x-1)^2 - 1$

Для выражения с $y$, $(y^2 - 4y)$, необходимо добавить и вычесть $(4/2)^2 = 2^2 = 4$:

$(y^2 - 4y + 4) - 4 = (y-2)^2 - 4$

Подставим полученные полные квадраты обратно в уравнение:

$((x-1)^2 - 1) + ((y-2)^2 - 4) - 7 = 0$

Теперь упростим уравнение и перенесем константы в правую часть:

$(x-1)^2 + (y-2)^2 - 1 - 4 - 7 = 0$

$(x-1)^2 + (y-2)^2 - 12 = 0$

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 12$

Данное уравнение имеет канонический вид уравнения окружности, так как правая часть $12 > 0$. Это доказывает, что исходное уравнение является уравнением окружности. Из полученного уравнения находим координаты центра $(a, b) = (1, 2)$ и радиус $R = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Ответ: Уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом $2\sqrt{3}$.

2) Проведем аналогичные преобразования для уравнения $x^2 + y^2 - 8y = 0$. Приведем его к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$.

Сгруппируем слагаемые:

$x^2 + (y^2 - 8y) = 0$

Выражение $x^2$ можно записать как $(x-0)^2$.

Дополним выражение с $y$ до полного квадрата. Для $(y^2 - 8y)$ нужно добавить и вычесть $(8/2)^2 = 4^2 = 16$:

$(y^2 - 8y + 16) - 16 = (y-4)^2 - 16$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(x-0)^2 + ((y-4)^2 - 16) = 0$

Перенесем константу в правую часть:

$x^2 + (y-4)^2 - 16 = 0$

$x^2 + (y-4)^2 = 16$

Уравнение приведено к каноническому виду. Так как правая часть $16 > 0$, это уравнение окружности. Координаты центра $(a, b) = (0, 4)$, а радиус $R = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: Уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(0, 4)$ и радиусом $4$.