Номер 140, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

140. На прямой, содержащей биссектрисы первого и третьего координатных углов, найдите точку, равноудалённую от точек $A (1; 3)$ и $B (3; 5)$.

140. На прямой, содержащей биссектрисы первого и третьего координатных углов, найдите точку, равноудалённую от точек $A (1; 3)$ и $B (3; 5)$.

Прямая, содержащая биссектрисы первого и третьего координатных углов, представляет собой множество точек, у которых абсцисса равна ординате. Уравнение этой прямой: $y=x$.

Пусть искомая точка $M$ имеет координаты $(x_M; y_M)$. Так как точка $M$ лежит на прямой $y=x$, ее координаты равны: $x_M = y_M$. Обозначим координаты этой точки как $M(x; x)$.

По условию, точка $M$ равноудалена от точек $A(1; 3)$ и $B(3; 5)$. Это означает, что расстояние от $M$ до $A$ равно расстоянию от $M$ до $B$, то есть $MA = MB$. Для удобства вычислений будем использовать равенство квадратов этих расстояний: $MA^2 = MB^2$.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ выглядит так: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Вычислим квадрат расстояния $MA^2$ от точки $M(x; x)$ до точки $A(1; 3)$:
$MA^2 = (x - 1)^2 + (x - 3)^2$

Вычислим квадрат расстояния $MB^2$ от точки $M(x; x)$ до точки $B(3; 5)$:
$MB^2 = (x - 3)^2 + (x - 5)^2$

Теперь приравняем эти два выражения:
$MA^2 = MB^2$
$(x - 1)^2 + (x - 3)^2 = (x - 3)^2 + (x - 5)^2$

В обеих частях уравнения есть одинаковый член $(x - 3)^2$, который можно сократить:
$(x - 1)^2 = (x - 5)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2$
$x^2 - 2x + 1 = x^2 - 10x + 25$

Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую, сократив $x^2$:
$-2x + 10x = 25 - 1$
$8x = 24$
$x = \frac{24}{8}$
$x = 3$

Мы нашли абсциссу искомой точки. Так как ордината равна абсциссе ($y = x$), то $y = 3$. Таким образом, координаты искомой точки $M$ — $(3; 3)$.

Ответ: $(3; 3)$.