Номер 132, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

132. Докажите, что точки $A(-2; -3)$, $B(2; 1)$ и $C(7; 6)$ лежат на одной прямой. Какая из точек лежит между двумя другими?

132. Докажите, что точки $A(-2; -3)$, $B(2; 1)$ и $C(7; 6)$ лежат на одной прямой. Какая из точек лежит между двумя другими?

Для того чтобы доказать, что три точки лежат на одной прямой, можно воспользоваться свойством отрезков: если три точки лежат на одной прямой, то длина самого большого отрезка, образованного этими точками, равна сумме длин двух других отрезков.

Найдем расстояния между парами точек A(-2; -3), B(2; 1) и C(7; 6) по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

1. Найдем длину отрезка AB:

$AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{(2+2)^2 + (1+3)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

2. Найдем длину отрезка BC:

$BC = \sqrt{(7 - 2)^2 + (6 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

3. Найдем длину отрезка AC:

$AC = \sqrt{(7 - (-2))^2 + (6 - (-3))^2} = \sqrt{(7+2)^2 + (6+3)^2} = \sqrt{9^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2}$.

4. Проверим, выполняется ли равенство:

Сравним сумму длин меньших отрезков с длиной большего. Самый длинный отрезок — AC.

$AB + BC = 4\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$.

Так как $AB + BC = 9\sqrt{2}$ и $AC = 9\sqrt{2}$, то выполняется равенство $AB + BC = AC$.

Это доказывает, что точки A, B и C лежат на одной прямой.

Какая из точек лежит между двумя другими?

Из равенства $AB + BC = AC$ следует, что точка B лежит на отрезке AC, то есть между точками A и C.

Ответ: Точки A, B и C лежат на одной прямой, так как выполняется условие $AB + BC = AC$. Между точками A и C лежит точка B.