Номер 128, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. Найдите площадь кругового сегмента, если его основание равно 4 см, а градусная мера дуги сегмента равна: 1) $45^\circ$; 2) $300^\circ$.

128. Найдите площадь кругового сегмента, если его основа- ние равно 4 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $45^\circ$;

2) $300^\circ$.

Площадь кругового сегмента ($S_{сегмента}$) вычисляется как площадь кругового сектора ($S_{сектора}$) минус площадь треугольника ($S_{\triangle}$), образованного радиусами и основанием сегмента (хордой). Общая формула, которая работает как для меньшего, так и для большего сегмента, выглядит так:

$S_{сегмента} = \frac{1}{2}R^2 (\alpha_{рад} - \sin\alpha)$, где $R$ — радиус круга, $\alpha$ — центральный угол, соответствующий дуге сегмента, а $\alpha_{рад}$ — тот же угол в радианах.

Радиус круга $R$ можно найти, зная длину хорды $c$ и соответствующий ей центральный угол $\beta$. Хорда и два радиуса образуют равнобедренный треугольник, и по теореме синусов или из рассмотрения прямоугольных треугольников, образованных высотой, получаем: $c = 2R \sin(\frac{\beta}{2})$. Отсюда $R = \frac{c}{2 \sin(\frac{\beta}{2})}$.

По условию, длина основания (хорды) $c = 4$ см.

Градусная мера дуги сегмента $\alpha = 45^\circ$. Так как этот угол меньше $180^\circ$, то это меньший сегмент. Центральный угол $\beta$, опирающийся на хорду, равен градусной мере дуги, то есть $\beta = 45^\circ$.

Сначала найдем радиус круга $R$:

$R = \frac{c}{2 \sin(\frac{\beta}{2})} = \frac{4}{2 \sin(\frac{45^\circ}{2})} = \frac{2}{\sin(22.5^\circ)}$.

Для нахождения $\sin(22.5^\circ)$ используем формулу половинного угла $\sin(\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$:

$\sin(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{1-\cos(45^\circ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.

Теперь можем найти квадрат радиуса $R^2$:

$R^2 = \left(\frac{2}{\sin(22.5^\circ)}\right)^2 = \left(\frac{2}{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}\right)^2 = \left(\frac{4}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}\right)^2 = \frac{16}{2-\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$R^2 = \frac{16(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{16(2+\sqrt{2})}{4-2} = 8(2+\sqrt{2})$ см$^2$.

Теперь вычислим площадь сегмента. Угол в радианах $\alpha_{рад} = 45^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{4}$.

$S_{сегмента} = \frac{1}{2}R^2 (\alpha_{рад} - \sin\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 8(2+\sqrt{2}) \left( \frac{\pi}{4} - \sin(45^\circ) \right)$.

$S_{сегмента} = 4(2+\sqrt{2}) \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 4(2+\sqrt{2}) \frac{\pi - 2\sqrt{2}}{4} = (2+\sqrt{2})(\pi - 2\sqrt{2})$ см$^2$.

Ответ: $(2+\sqrt{2})(\pi - 2\sqrt{2})$ см$^2$.

Градусная мера дуги сегмента $\alpha = 300^\circ$. Так как этот угол больше $180^\circ$, то это больший сегмент. Хорда $c=4$ см стягивает меньшую дугу, поэтому центральный угол $\beta$, соответствующий треугольнику, равен $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$.

Найдем радиус круга $R$:

$R = \frac{c}{2 \sin(\frac{\beta}{2})} = \frac{4}{2 \sin(\frac{60^\circ}{2})} = \frac{4}{2 \sin(30^\circ)}$.

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то:

$R = \frac{4}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 4$ см.

Теперь вычислим площадь сегмента. Угол дуги сегмента $\alpha = 300^\circ$. В радианах это $\alpha_{рад} = 300^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{5\pi}{3}$.

Используем общую формулу:

$S_{сегмента} = \frac{1}{2}R^2 (\alpha_{рад} - \sin\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \left( \frac{5\pi}{3} - \sin(300^\circ) \right)$.

Найдем значение синуса: $\sin(300^\circ) = \sin(360^\circ - 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем значения в формулу:

$S_{сегмента} = \frac{1}{2} \cdot 16 \left( \frac{5\pi}{3} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \right) = 8 \left( \frac{5\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{40\pi}{3} + 4\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $(\frac{40\pi}{3} + 4\sqrt{3})$ см$^2$.