Номер 119, страница 15 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. В треугольнике $ABC$ $AB = 8 \text{ см}$, $\angle A = 50^\circ$, $\angle B = 60^\circ$.
Окружность с центром $A$ касается стороны $BC$. Найдите длину дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику.

119. В треугольнике $ABC$ $AB = 8$ см, $\angle A = 50^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$.

Окружность с центром $A$ касается стороны $BC$. Найдите длину дуги этой окружности, принадлежащей тре-угольнику.

По условию задачи, окружность с центром в точке A касается стороны BC. Это означает, что радиус окружности R равен длине высоты AH, опущенной из вершины A на сторону BC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, где $\angle AHB = 90^\circ$. В этом треугольнике известны гипотенуза $AB = 8$ см и острый угол $\angle B = 60^\circ$.

Радиус R, который является катетом AH, можно найти через синус угла B:

$\sin(\angle B) = \frac{AH}{AB}$

Отсюда выразим AH:

$AH = AB \cdot \sin(\angle B)$

Подставим известные значения и вычислим радиус:

$R = AH = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Дуга окружности, принадлежащая треугольнику, ограничена сторонами AB и AC. Так как центр окружности находится в вершине A, то центральный угол этой дуги равен углу A треугольника.

По условию, $\angle A = 50^\circ$.

Длина дуги $L$ с центральным углом $\alpha$ и радиусом $R$ вычисляется по формуле:

$L = \frac{2\pi R \alpha}{360^\circ}$

Подставим наши значения $R = 4\sqrt{3}$ см и $\alpha = 50^\circ$:

$L = \frac{2 \pi \cdot 4\sqrt{3} \cdot 50}{360} = \frac{400\pi\sqrt{3}}{360}$

Сократим полученную дробь:

$L = \frac{40\pi\sqrt{3}}{36} = \frac{10\pi\sqrt{3}}{9}$ см.

Ответ: $\frac{10\pi\sqrt{3}}{9}$ см.