Номер 101, страница 46 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

101. Найдите отношение площадей вписанного в правильный треугольник и описанного около него кругов.

101. Найдите отношение площадей вписанного в правильный треугольник и описанного около него кругов.

Для решения задачи найдем соотношение между радиусами вписанной и описанной окружностей для правильного треугольника. Пусть $r$ — радиус вписанного круга, а $R$ — радиус описанного круга. Площади этих кругов ($S_{впис}$ и $S_{опис}$ соответственно) вычисляются по формулам:

$S_{впис} = \pi r^2$

$S_{опис} = \pi R^2$

В правильном (равностороннем) треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта точка является центром треугольника и точкой пересечения его медиан, высот и биссектрис.

Согласно свойству медиан треугольника, они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. В правильном треугольнике высота, опущенная из вершины, совпадает с медианой. Расстояние от вершины до центра треугольника является радиусом описанной окружности $R$, а расстояние от центра до противоположной стороны (которое равно длине перпендикуляра) является радиусом вписанной окружности $r$.

Таким образом, радиусы соотносятся как 2 к 1:

$R = 2r$

Теперь мы можем найти отношение площадей вписанного и описанного кругов, подставив это соотношение в формулы для площадей:

$\frac{S_{впис}}{S_{опис}} = \frac{\pi r^2}{\pi R^2} = \frac{\pi r^2}{\pi (2r)^2} = \frac{\pi r^2}{4\pi r^2} = \frac{1}{4}$

Следовательно, искомое отношение площадей равно 1:4.
Ответ: 1:4