Номер 108, страница 46 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

108. Два круга имеют общую хорду. Найдите отношение площадей этих кругов, если из центра первого круга эта хорда видна под углом $90^{\circ}$, а из центра второго — под углом $120^{\circ}$.

108. Два круга имеют общую хорду. Найдите отношение площадей этих кругов, если из центра первого круга эта хорда видна под углом $90^{\circ}$, а из центра второго — под углом $120^{\circ}$.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади первого и второго кругов соответственно, а $R_1$ и $R_2$ — их радиусы. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Следовательно, отношение площадей кругов равно отношению квадратов их радиусов:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi R_1^2}{\pi R_2^2} = \frac{R_1^2}{R_2^2}$

Чтобы найти это отношение, нам нужно связать радиусы $R_1$ и $R_2$ через длину общей хорды, которую обозначим как $L$.

Рассмотрим первый круг. Хорда $L$ видна из центра под углом $\alpha_1 = 90^\circ$. Хорда и два радиуса, проведенные к ее концам, образуют равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $R_1$ и углом между ними $90^\circ$. По теореме косинусов для этого треугольника:

$L^2 = R_1^2 + R_1^2 - 2 \cdot R_1 \cdot R_1 \cdot \cos(90^\circ)$

Поскольку $\cos(90^\circ) = 0$, получаем:

$L^2 = 2R_1^2$

Теперь рассмотрим второй круг. Та же хорда $L$ видна из центра второго круга под углом $\alpha_2 = 120^\circ$. Аналогично, хорда и два радиуса $R_2$ образуют равнобедренный треугольник. Снова применяем теорему косинусов:

$L^2 = R_2^2 + R_2^2 - 2 \cdot R_2 \cdot R_2 \cdot \cos(120^\circ)$

Поскольку $\cos(120^\circ) = -0.5$, получаем:

$L^2 = 2R_2^2 - 2R_2^2 \cdot (-0.5) = 2R_2^2 + R_2^2 = 3R_2^2$

Так как хорда общая, мы можем приравнять выражения для $L^2$:

$2R_1^2 = 3R_2^2$

Отсюда находим отношение квадратов радиусов, которое и является искомым отношением площадей:

$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{3}{2}$

Следовательно, $\frac{S_1}{S_2} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: Отношение площадей кругов равно 3:2 (или 1.5).