Номер 104, страница 46 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

104. Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. Найдите площади описанного около него и вписанного в него кругов.

104. Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. Найдите площади описанного около него и вписанного в него кругов.

Для нахождения площадей описанного и вписанного кругов необходимо сначала вычислить их радиусы. Радиусы, в свою очередь, можно найти, зная площадь и стороны треугольника.

Обозначим стороны треугольника как $a = 10$ см, $b = 17$ см и $c = 21$ см.

1. Вычисление площади треугольника.

Для нахождения площади треугольника ($S_{\triangle}$) по трем известным сторонам воспользуемся формулой Герона: $S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Найдем полупериметр:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10+17+21}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника:

$S_{\triangle} = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{7056} = 84$ см².

Теперь, имея значение площади треугольника, мы можем найти площади искомых кругов.

Площадь описанного круга

Радиус описанного круга ($R$) вычисляется по формуле: $R = \frac{abc}{4S_{\triangle}}$.

Подставим известные значения:

$R = \frac{10 \cdot 17 \cdot 21}{4 \cdot 84} = \frac{3570}{336} = \frac{85}{8}$ см.

Площадь описанного круга ($S_{опис.}$) вычисляется по формуле $S_{опис.} = \pi R^2$.

$S_{опис.} = \pi \cdot (\frac{85}{8})^2 = \pi \cdot \frac{7225}{64} = \frac{7225}{64}\pi$ см².

Ответ: $\frac{7225}{64}\pi$ см².

Площадь вписанного круга

Радиус вписанного круга ($r$) вычисляется по формуле: $r = \frac{S_{\triangle}}{p}$.

Подставим известные значения:

$r = \frac{84}{24} = \frac{7}{2} = 3.5$ см.

Площадь вписанного круга ($S_{впис.}$) вычисляется по формуле $S_{впис.} = \pi r^2$.

$S_{впис.} = \pi \cdot (3.5)^2 = 12.25\pi$ см².

Ответ: $12.25\pi$ см².