Номер 105, страница 46 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. Угол ромба равен $30^\circ$, а площадь круга, вписанного в ромб, — $6\pi$ см². Найдите площадь ромба.

105. Угол ромба равен $30^{\circ}$, а площадь круга, вписанного в ромб, — $6\pi \text{ см}^2$. Найдите площадь ромба.

Для решения задачи необходимо найти параметры ромба, используя данные о вписанном в него круге.

1. Найдём радиус вписанного круга. Площадь круга ($S_{круга}$) вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$, где $r$ – это радиус. По условию, $S_{круга} = 6\pi \text{ см}^2$.

$\pi r^2 = 6\pi$

Разделив обе части уравнения на $\pi$, получаем:

$r^2 = 6$

$r = \sqrt{6} \text{ см}$

2. Найдём высоту ромба. Высота ромба ($h$) равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2r$.

$h = 2 \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6} \text{ см}$

3. Найдём сторону ромба. Высота ромба связана с его стороной ($a$) и острым углом ($\alpha$) через формулу $h = a \cdot \sin(\alpha)$. Нам дано, что $\alpha = 30^\circ$.

$2\sqrt{6} = a \cdot \sin(30^\circ)$

Поскольку значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, мы можем найти сторону $a$:

$2\sqrt{6} = a \cdot \frac{1}{2}$

$a = 2 \cdot 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6} \text{ см}$

4. Вычислим площадь ромба. Площадь ромба ($S_{ромба}$) можно найти по формуле $S_{ромба} = a \cdot h$.

$S_{ромба} = (4\sqrt{6}) \cdot (2\sqrt{6}) = 8 \cdot (\sqrt{6})^2 = 8 \cdot 6 = 48 \text{ см}^2$

Альтернативно, можно использовать формулу $S_{ромба} = a^2 \sin(\alpha)$:

$S_{ромба} = (4\sqrt{6})^2 \cdot \sin(30^\circ) = (16 \cdot 6) \cdot \frac{1}{2} = 96 \cdot \frac{1}{2} = 48 \text{ см}^2$

Ответ: 48 см².