Номер 107, страница 46 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

107. В полукруг, диаметр которого равен 12 см, вписан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого совпадает с диаметром полукруга, а один из катетов равен 6 см. Найдите площадь части полукруга, расположенной вне треугольника.

107. В полукруг, диаметр которого равен 12 см, вписан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого совпадает с диаметром полукруга, а один из катетов равен 6 см. Найдите площадь части полукруга, расположенной вне треугольника.

Для того чтобы найти площадь части полукруга, расположенной вне треугольника, необходимо из площади полукруга вычесть площадь вписанного в него прямоугольного треугольника.

1. Найдем площадь полукруга

Диаметр полукруга по условию равен $d = 12$ см. Радиус $r$ равен половине диаметра:
$r = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Площадь полукруга ($S_{полукруга}$) составляет половину площади круга с тем же радиусом, которая вычисляется по формуле $\pi r^2$:
$S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (6)^2 = \frac{1}{2} \pi \cdot 36 = 18\pi$ см².

2. Найдем площадь прямоугольного треугольника

Гипотенуза треугольника $c$ совпадает с диаметром полукруга, следовательно, $c = 12$ см. Один из катетов $a$ равен 6 см. Второй катет $b$ можно найти по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
$6^2 + b^2 = 12^2$
$36 + b^2 = 144$
$b^2 = 144 - 36$
$b^2 = 108$
$b = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

Площадь прямоугольного треугольника ($S_{треуг.}$) равна половине произведения его катетов:
$S_{треуг.} = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ см².

3. Найдем площадь искомой части полукруга

Искомая площадь $S$ равна разности площади полукруга и площади треугольника:
$S = S_{полукруга} - S_{треуг.} = 18\pi - 18\sqrt{3}$ см².

Для удобства можно вынести общий множитель за скобку:
$S = 18(\pi - \sqrt{3})$ см².

Ответ: $18(\pi - \sqrt{3})$ см².