Номер 103, страница 46 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник, основание которого равно 12 см, а боковая сторона — 10 см.

103. Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник, основание которого равно 12 см, а боковая сторона — 10 см.

Для того чтобы найти площадь круга, вписанного в треугольник, необходимо определить его радиус. Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$, где $r$ – радиус вписанного круга.

Радиус окружности, вписанной в произвольный треугольник, можно найти по формуле $r = \frac{S_{тр}}{p}$, где $S_{тр}$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

Рассмотрим равнобедренный треугольник с основанием $a = 12$ см и боковыми сторонами $b = 10$ см.

1. Найдем полупериметр треугольника (p).
Полупериметр – это половина суммы длин всех сторон треугольника.
$p = \frac{a + b + b}{2} = \frac{12 + 10 + 10}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

2. Найдем площадь треугольника ($S_{тр}$).
Для этого проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка по $\frac{12}{2} = 6$ см.
Получился прямоугольный треугольник с гипотенузой (боковая сторона) $10$ см и одним из катетов (половина основания) $6$ см. Второй катет – это высота $h$.
По теореме Пифагора найдем высоту $h$:
$h^2 + 6^2 = 10^2$
$h^2 + 36 = 100$
$h^2 = 100 - 36 = 64$
$h = \sqrt{64} = 8$ см.
Теперь вычислим площадь треугольника:
$S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

3. Найдем радиус вписанного круга (r).
Используем формулу, связывающую площадь, полупериметр и радиус вписанной окружности:
$r = \frac{S_{тр}}{p} = \frac{48}{16} = 3$ см.

4. Найдем площадь вписанного круга ($S_{круга}$).
Теперь, зная радиус, мы можем вычислить площадь круга:
$S_{круга} = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$ см$^2$.

Ответ: $9\pi$ см$^2$.