Номер 109, страница 46 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

109. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. В треугольник вписан полукруг, центр которого лежит на большей стороне треугольника. Найдите площадь полукруга.

109. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. В треугольник вписан полукруг, центр которого лежит на большей стороне треугольника. Найдите площадь полукруга.

Пусть стороны треугольника равны $13$ см, $14$ см и $15$ см. По условию, центр вписанного полукруга лежит на большей стороне, то есть на стороне длиной $15$ см. Полукруг касается двух других сторон (длиной $13$ см и $14$ см).

Пусть $r$ — радиус полукруга. Поскольку полукруг касается двух боковых сторон, расстояние от его центра $O$, лежащего на большей стороне, до этих сторон равно радиусу $r$.

Площадь всего треугольника можно представить как сумму площадей двух треугольников, на которые его делит отрезок, соединяющий вершину, противолежащую большей стороне, с центром полукруга $O$. Основаниями этих двух треугольников будут боковые стороны ($13$ см и $14$ см), а высотой для каждого из них, проведенной из вершины $O$, будет радиус полукруга $r$.

Таким образом, площадь всего треугольника $S$ можно выразить через радиус $r$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot r + \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot r = \frac{1}{2} r (13+14) = \frac{27}{2} r$.

Теперь найдем площадь этого же треугольника по формуле Герона, зная все три стороны. Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника, обозначив стороны как $a=13, b=14, c=15$:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^4} = 3 \cdot 7 \cdot 2^2 = 84$ см².

Приравняем два выражения для площади, чтобы найти радиус $r$:

$84 = \frac{27}{2} r$.

Отсюда находим радиус:

$r = \frac{84 \cdot 2}{27} = \frac{168}{27} = \frac{56}{9}$ см.

Наконец, найдем площадь полукруга $S_{полукруга}$ по формуле:

$S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi r^2$.

$S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{56}{9}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \frac{56^2}{9^2} = \frac{1}{2} \pi \frac{3136}{81} = \frac{1568\pi}{81}$ см².

Ответ: $\frac{1568\pi}{81}$ см².