Номер 102, страница 46 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

102. Найдите площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника с основанием 6 см и углом $45^\circ$ при вершине.

102. Найдите площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника с основанием 6 см и углом $45^\circ$ при вершине.

Для того чтобы найти площадь круга, описанного около треугольника, необходимо сначала определить радиус этого круга ($R$). Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

Радиус окружности, описанной около любого треугольника, можно найти с помощью следствия из теоремы синусов, которое гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно диаметру описанной окружности ($2R$):

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$

В условии задачи нам дан равнобедренный треугольник, у которого основание $a = 6$ см, а угол при вершине, противолежащий этому основанию, равен $\alpha = 45^\circ$.

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{6}{\sin 45^\circ} = 2R$

Известно, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в наше уравнение:

$2R = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Выполним деление:

$2R = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:

$2R = \frac{12 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем радиус $R$, разделив диаметр на 2:

$R = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Зная радиус, мы можем вычислить площадь описанного круга:

$S = \pi R^2 = \pi (3\sqrt{2})^2 = \pi (3^2 \cdot (\sqrt{2})^2) = \pi (9 \cdot 2) = 18\pi$ см$^2$.

Ответ: $18\pi$ см$^2$.