Номер 106, страница 46 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. Постройте окружность, длина которой равна разности длин двух данных окружностей.

106. Постройте окружность, длина которой равна разности длин двух данных окружностей.

Пусть даны две окружности с радиусами $R_1$ и $R_2$ и длинами (длинами окружностей) $L_1$ и $L_2$ соответственно. Без ограничения общности, предположим, что $R_1 \ge R_2$.

Длина окружности вычисляется по формуле $L = 2 \pi R$. Следовательно, $L_1 = 2 \pi R_1$ и $L_2 = 2 \pi R_2$.

Требуется построить новую окружность с радиусом $R_3$ и длиной $L_3$, для которой выполняется условие, что её длина равна разности длин двух данных окружностей:$L_3 = L_1 - L_2$Подставим формулы для длин окружностей в это равенство:$2 \pi R_3 = 2 \pi R_1 - 2 \pi R_2$Вынесем общий множитель $2 \pi$ за скобки в правой части уравнения:$2 \pi R_3 = 2 \pi (R_1 - R_2)$Разделив обе части уравнения на $2 \pi$, получим выражение для радиуса искомой окружности:$R_3 = R_1 - R_2$

Таким образом, задача сводится к построению окружности, радиус которой равен разности радиусов двух данных окружностей. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений.

Построение
1. Начертим произвольный луч с началом в точке $A$.
2. С помощью циркуля измерим радиус большей окружности, $R_1$. Для этого установим иглу циркуля в центр первой окружности, а грифель — на любую точку этой окружности.
3. Не меняя раствора циркуля, установим его иглу в точку $A$ и отложим на луче отрезок $AB$, равный $R_1$.
4. Аналогично измерим циркулем радиус меньшей окружности, $R_2$.
5. Установим иглу циркуля в точку $B$ и отложим на отрезке $AB$ отрезок $BC$, равный $R_2$, так, чтобы точка $C$ лежала между точками $A$ и $B$.
6. Длина отрезка $AC$ будет равна разности длин отрезков $AB$ и $BC$, то есть $AC = AB - BC = R_1 - R_2$. Этот отрезок $AC$ и является радиусом $R_3$ искомой окружности.
7. Выберем на плоскости произвольную точку $O_3$ — центр будущей окружности.
8. Измерим циркулем длину отрезка $AC$.
9. Установим иглу циркуля в точку $O_3$ и, не меняя раствора, построим окружность.

Построенная окружность имеет радиус $R_3 = R_1 - R_2$, и её длина $L_3 = 2 \pi R_3 = 2 \pi (R_1 - R_2) = 2 \pi R_1 - 2 \pi R_2 = L_1 - L_2$, что и требовалось в задаче.

Ответ: Для построения искомой окружности необходимо сначала построить отрезок, длина которого равна разности радиусов двух данных окружностей. Этот отрезок будет радиусом искомой окружности. Затем следует выбрать произвольную точку в качестве центра и построить окружность с найденным радиусом.