Номер 101, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

101. Найдите отношение площадей вписанного в правильный четырёхугольник и описанного около него кругов.

101. Найдите отношение площадей вписанного в правильный четырёхугольник и описанного около него кругов.

Правильный четырёхугольник — это квадрат. Обозначим длину его стороны как $a$. Необходимо найти отношение площади вписанного в него круга к площади описанного около него круга.

1. Найдем радиус и площадь вписанного круга
Круг, вписанный в квадрат, касается всех его четырех сторон. Диаметр этого круга равен стороне квадрата $a$. Следовательно, радиус вписанного круга $r$ равен половине стороны:
$r = \frac{a}{2}$
Площадь вписанного круга ($S_{вп}$) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$:
$S_{вп} = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$

2. Найдем радиус и площадь описанного круга
Круг, описанный около квадрата, проходит через все его вершины. Диаметр этого круга равен диагонали квадрата $d$. Диагональ квадрата можно найти по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Следовательно, радиус описанного круга $R$ равен половине диагонали:
$R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
Площадь описанного круга ($S_{оп}$) вычисляется по формуле $S = \pi R^2$:
$S_{оп} = \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{\pi a^2}{2}$

3. Найдем отношение площадей
Теперь найдем искомое отношение площади вписанного круга к площади описанного круга:
$\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{\frac{\pi a^2}{4}}{\frac{\pi a^2}{2}}$
Мы можем сократить $\pi a^2$ в числителе и знаменателе:
$\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Таким образом, отношение площадей составляет 1 к 2.

Ответ: $\frac{1}{2}$