Номер 107, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

107. В полукруг, диаметр которого равен 20 см, вписан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого совпадает с диаметром полукруга, а один из катетов равен $10\sqrt{3}$ см. Найдите площадь части полукруга, расположенной вне треугольника.

107. В полукруг, диаметр которого равен 20 см, вписан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого совпадает с диаметром полукруга, а один из катетов равен $10\sqrt{3}$ см. Найдите площадь части полукруга, расположенной вне треугольника.

Для того чтобы найти площадь части полукруга, расположенной вне треугольника, необходимо из площади всего полукруга вычесть площадь вписанного в него треугольника. Обозначим искомую площадь как $S$.

1. Найдем площадь полукруга ($S_{полукруга}$).
Диаметр полукруга по условию равен $d = 20$ см. Радиус $r$ составляет половину диаметра:
$r = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.
Площадь полукруга вычисляется по формуле:
$S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi r^2$
Подставив значение радиуса, получим:
$S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi \cdot 10^2 = \frac{100\pi}{2} = 50\pi$ см$^2$.

2. Найдем площадь прямоугольного треугольника ($S_{треуг}$).
Гипотенуза треугольника $c$ совпадает с диаметром полукруга, следовательно, $c = 20$ см. Один из катетов по условию равен $a = 10\sqrt{3}$ см. Второй катет $b$ найдем по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
$(10\sqrt{3})^2 + b^2 = 20^2$
$100 \cdot 3 + b^2 = 400$
$300 + b^2 = 400$
$b^2 = 400 - 300 = 100$
$b = \sqrt{100} = 10$ см.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S_{треуг} = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot 10 = 50\sqrt{3}$ см$^2$.

3. Найдем искомую площадь.
Вычтем из площади полукруга площадь треугольника:
$S = S_{полукруга} - S_{треуг} = 50\pi - 50\sqrt{3}$ см$^2$.
Вынесем общий множитель $50$ за скобки:
$S = 50(\pi - \sqrt{3})$ см$^2$.
Ответ: $50(\pi - \sqrt{3})$ см$^2$.