Номер 106, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. Постройте окружность, длина которой равна сумме длин двух данных окружностей.

106. Постройте окружность, длина которой равна сумме длин двух данных окружностей.

Для решения этой задачи необходимо сначала проанализировать связь между длиной окружности и ее радиусом, а затем выполнить геометрическое построение с помощью циркуля и линейки.

Анализ

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi R$, где $R$ — радиус окружности, а $\pi$ — математическая константа.

Пусть нам даны две окружности с радиусами $R_1$ и $R_2$. Их длины равны соответственно:

$C_1 = 2\pi R_1$

$C_2 = 2\pi R_2$

Нам нужно построить третью окружность с радиусом $R_3$ и длиной $C_3$ так, чтобы ее длина была равна сумме длин двух данных окружностей:

$C_3 = C_1 + C_2$

Подставим формулы для длин окружностей в это равенство:

$2\pi R_3 = 2\pi R_1 + 2\pi R_2$

Разделив обе части уравнения на $2\pi$, получим:

$R_3 = R_1 + R_2$

Таким образом, задача сводится к построению окружности, радиус которой равен сумме радиусов двух данных окружностей.

Построение

Пусть даны две окружности с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами $R_1$, $R_2$.

1. Проведем произвольную прямую (или луч) $a$. Отметим на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля измерим радиус первой окружности $R_1$. Для этого можно установить иглу циркуля в центр $O_1$, а грифель — на любую точку окружности.
3. Не меняя раствора циркуля, установим его иглу в точку $A$ на прямой $a$ и отложим отрезок, равный $R_1$. Обозначим конец этого отрезка точкой $B$. Таким образом, $AB = R_1$.
4. С помощью циркуля измерим радиус второй окружности $R_2$.
5. Не меняя раствора циркуля, установим его иглу в точку $B$ и отложим на прямой $a$ отрезок, равный $R_2$, в направлении от точки $A$. Обозначим конец этого отрезка точкой $C$. Таким образом, $BC = R_2$.
6. Полученный отрезок $AC$ имеет длину $AC = AB + BC = R_1 + R_2$. Этот отрезок будет радиусом искомой окружности, $R_3 = AC$.
7. Выберем произвольную точку $O_3$ в качестве центра новой окружности.
8. Измерим циркулем длину отрезка $AC$.
9. Установим иглу циркуля в точку $O_3$ и, сохраняя раствор циркуля равным $AC$, проведем окружность.

Доказательство

Построенная окружность имеет радиус $R_3 = R_1 + R_2$. Ее длина $C_3$ равна $2\pi R_3 = 2\pi (R_1 + R_2) = 2\pi R_1 + 2\pi R_2$. Так как $C_1 = 2\pi R_1$ и $C_2 = 2\pi R_2$, то $C_3 = C_1 + C_2$. Следовательно, построенная окружность удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Построенная окружность с радиусом, равным сумме радиусов двух данных окружностей ($R_3 = R_1 + R_2$), является искомой.