Номер 108, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

108. Два круга имеют общую хорду. Найдите отношение площадей этих кругов, если из центра первого круга эта хорда видна под углом 60°, а из центра второго — под углом 90°.

Рис. 59

108. Два круга имеют общую хорду. Найдите отношение площадей этих кругов, если из центра первого круга эта хорда видна под углом $60^\circ$, а из центра второго — под углом $90^\circ$.

Рис. 59

Пусть $S_1$ и $R_1$ — площадь и радиус первого круга, а $S_2$ и $R_2$ — площадь и радиус второго круга. Длина их общей хорды пусть будет $L$.

Отношение площадей этих кругов равно:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi R_1^2}{\pi R_2^2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2$

Чтобы найти это отношение, нам нужно выразить длину общей хорды $L$ через радиусы каждого из кругов.

1. Для первого круга:

Хорда $L$ видна из центра первого круга под углом $60^\circ$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами $R_1$ и хордой $L$. Поскольку угол при вершине равен $60^\circ$, а боковые стороны равны (как радиусы), то углы при основании также равны $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Следовательно, этот треугольник является равносторонним, и длина хорды равна радиусу.

$L = R_1$

2. Для второго круга:

Хорда $L$ видна из центра второго круга под углом $90^\circ$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами $R_2$ и хордой $L$. Этот треугольник является прямоугольным, где радиусы $R_2$ — катеты, а хорда $L$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:

$L^2 = R_2^2 + R_2^2 = 2R_2^2$

Отсюда $L = R_2\sqrt{2}$.

3. Найдем отношение радиусов и площадей:

Так как хорда общая, мы можем приравнять выражения для ее длины:

$R_1 = R_2\sqrt{2}$

Теперь найдем отношение их радиусов:

$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{2}$

Наконец, подставим это отношение в формулу для отношения площадей:

$\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

Таким образом, отношение площади первого круга к площади второго равно 2. Также можно сказать, что отношение площадей равно 2:1.

Ответ: 2.