Номер 103, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник, основание которого равно 30 см, а боковая сторона — 17 см.

103. Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник, основание которого равно 30 см, а боковая сторона — 17 см.

Для нахождения площади круга, вписанного в равнобедренный треугольник, воспользуемся формулой площади круга $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус вписанного круга. Чтобы найти площадь, нам сначала нужно определить этот радиус.

Радиус круга, вписанного в треугольник, можно найти по формуле: $r = \frac{S_{\triangle}}{p}$, где $S_{\triangle}$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Вычислим полупериметр и площадь данного треугольника.
Стороны треугольника: боковые стороны $a = b = 17$ см, основание $c = 30$ см.
Периметр треугольника $P = a + b + c = 17 + 17 + 30 = 64$ см.
Полупериметр $p = \frac{P}{2} = \frac{64}{2} = 32$ см.

Для вычисления площади треугольника проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка по $30 / 2 = 15$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой и половиной основания (катеты). По теореме Пифагора найдем высоту $h$:
$h^2 + 15^2 = 17^2$
$h^2 + 225 = 289$
$h^2 = 289 - 225 = 64$
$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдем площадь треугольника:
$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 8 = 120$ см$^2$.

Зная площадь и полупериметр, найдем радиус вписанного круга:
$r = \frac{S_{\triangle}}{p} = \frac{120}{32}$ см.
Сократим дробь на 8: $r = \frac{15}{4}$ см.

Наконец, вычислим площадь вписанного круга:
$S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{15}{4}\right)^2 = \pi \cdot \frac{225}{16} = \frac{225\pi}{16}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{225\pi}{16}$ см$^2$.