Номер 104, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

104. Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Найдите площади описанного около него и вписанного в него кругов.

104. Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Найдите площади описанного около него и вписанного в него кругов.

Для нахождения площадей описанного и вписанного кругов необходимо сначала вычислить площадь самого треугольника. Зная длины всех сторон, мы можем использовать формулу Герона.

Пусть стороны треугольника равны $a = 13$ см, $b = 20$ см, $c = 21$ см.

1. Найдем полупериметр треугольника $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+20+21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

2. Найдем площадь треугольника $S$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{15876} = 126$ см².

Площадь описанного круга

Радиус описанной окружности $R$ для произвольного треугольника вычисляется по формуле: $R = \frac{abc}{4S}$.

Подставим известные значения:

$R = \frac{13 \cdot 20 \cdot 21}{4 \cdot 126} = \frac{5460}{504} = \frac{65}{6}$ см.

Площадь описанного круга $S_{опис}$ равна $\pi R^2$:

$S_{опис} = \pi \left(\frac{65}{6}\right)^2 = \frac{4225}{36}\pi$ см², или $117\frac{13}{36}\pi$ см².

Ответ: $\frac{4225}{36}\pi$ см².

Площадь вписанного круга

Радиус вписанной окружности $r$ вычисляется по формуле: $r = \frac{S}{p}$.

Подставим известные значения:

$r = \frac{126}{27} = \frac{14}{3}$ см.

Площадь вписанного круга $S_{впис}$ равна $\pi r^2$:

$S_{впис} = \pi \left(\frac{14}{3}\right)^2 = \frac{196}{9}\pi$ см², или $21\frac{7}{9}\pi$ см².

Ответ: $\frac{196}{9}\pi$ см².