Номер 109, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

109. Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. В треугольник вписан полукруг, центр которого лежит на большей стороне треугольника. Найдите площадь полукруга.

109. Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. В треугольник вписан полукруг, центр которого лежит на большей стороне треугольника. Найдите площадь полукруга.

Пусть стороны треугольника равны $a = 10$ см, $b = 17$ см и $c = 21$ см. По условию, центр вписанного полукруга лежит на большей стороне, то есть на стороне $c = 21$ см. Диаметр полукруга также лежит на этой стороне, а сам полукруг касается двух других сторон, $a$ и $b$.

Для нахождения радиуса полукруга, сначала найдем площадь треугольника. Воспользуемся формулой Герона:$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Найдем полупериметр:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10+17+21}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника:$S = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{(8 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 9 \cdot 49} = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см².

Пусть $r$ — радиус вписанного полукруга. Центр полукруга (точка O) лежит на стороне $c$. Соединим центр O с вершиной, противолежащей стороне $c$. Этот отрезок разделит исходный треугольник на два треугольника, основаниями которых являются стороны $a$ и $b$. Высоты этих двух треугольников, проведенные из вершины O, равны радиусу полукруга $r$, так как полукруг касается сторон $a$ и $b$.

Площадь исходного треугольника можно представить как сумму площадей этих двух треугольников:$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} a \cdot r + \frac{1}{2} b \cdot r = \frac{1}{2} r (a+b)$.

Подставим известные значения и найдем радиус $r$:$84 = \frac{1}{2} r (10+17)$
$84 = \frac{27}{2} r$
$r = \frac{84 \cdot 2}{27} = \frac{168}{27} = \frac{56}{9}$ см.

Теперь, зная радиус, можем найти площадь полукруга по формуле $S_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi r^2$:$S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{56}{9}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \frac{56^2}{9^2} = \frac{1}{2} \pi \frac{3136}{81} = \frac{1568}{81}\pi$ см².

Ответ: $\frac{1568}{81}\pi$ см².