Номер 105, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. Площадь круга, вписанного в прямоугольную трапецию, равна $16\pi$ см$^2$, а угол трапеции равен $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

105. Площадь круга, вписанного в прямоугольную трапецию, равна $16\pi$ см$^2$, а угол трапеции равен $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$, где $r$ – это радиус вписанного круга. Согласно условию, площадь круга равна $16\pi$ см². Найдем радиус:
$\pi r^2 = 16\pi$
$r^2 = 16$
$r = 4$ см.

Высота трапеции, в которую можно вписать окружность, равна диаметру этой окружности. Обозначим высоту как $h$.
$h = 2r = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Так как трапеция прямоугольная, одна из ее боковых сторон перпендикулярна основаниям и ее длина равна высоте трапеции. Пусть трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, а $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Тогда $AB = h = 8$ см, и углы $\angle A$ и $\angle B$ равны $90^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Угол, данный в условии, равен $150^\circ$, он является тупым. Пусть это будет угол $\angle C = 150^\circ$. Тогда острый угол $\angle D$, прилежащий к той же боковой стороне $CD$, будет равен:
$\angle D = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $CHD$, в котором катет $CH$ равен высоте трапеции ($CH = h = 8$ см), а гипотенузой является боковая сторона $CD$. Угол $\angle D = 30^\circ$. Найдем длину стороны $CD$:
$\sin(\angle D) = \frac{CH}{CD}$
$\sin(30^\circ) = \frac{8}{CD}$
$\frac{1}{2} = \frac{8}{CD}$
$CD = 2 \cdot 8 = 16$ см.

В трапецию можно вписать окружность, а это значит, что суммы длин ее противоположных сторон равны. То есть, сумма оснований равна сумме боковых сторон:
$AD + BC = AB + CD$
Подставив известные значения, получим сумму оснований:
$AD + BC = 8 + 16 = 24$ см.

Теперь мы можем найти площадь трапеции по формуле:
$S_{трапеции} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$
$S_{трапеции} = \frac{24}{2} \cdot 8 = 12 \cdot 8 = 96$ см².

Ответ: 96 см².