Номер 102, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

102. Найдите площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника с основанием 8 см и углом $120^\circ$ при вершине.

102. Найдите площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника с основанием 8 см и углом $120^\circ$ при вершине.

Для того чтобы найти площадь круга, описанного около треугольника, необходимо сначала вычислить его радиус ($R$). Площадь круга находится по формуле $S = \pi R^2$.

Радиус окружности, описанной около любого треугольника, можно найти с помощью теоремы синусов, согласно которой отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $

В условии задачи дан равнобедренный треугольник, у которого основание $a = 8$ см, а угол при вершине, противолежащий основанию, $\alpha = 120°$.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти радиус $R$:

$ 2R = \frac{8}{\sin 120°} $

Вычислим значение $\sin 120°$. Используя формулы приведения, получаем:

$ \sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь подставим это значение обратно в уравнение для радиуса:

$ 2R = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} $

Отсюда находим радиус $R$:

$ R = \frac{16}{2\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} $ см.

Теперь, когда радиус известен, мы можем вычислить площадь круга:

$ S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{8}{\sqrt{3}}\right)^2 = \pi \cdot \frac{64}{3} = \frac{64\pi}{3} $ см².

Ответ: $ \frac{64\pi}{3} $ см².