Номер 165, страница 84 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Уравнение прямой. Вариант 3. Упражнения - номер 165, страница 84.

Условие 2017.

165. Докажите, что окружность $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 20$ и прямая $x - y = 3$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

Условие 2021.

165. Докажите, что окружность $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 20$ и прямая $x - y = 3$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

Решение.

Решение 2 (2021).

Для того чтобы доказать, что окружность $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 20$ и прямая $x - y = 3$ пересекаются, и найти координаты точек их пересечения, необходимо решить систему уравнений:
$ \begin{cases} (x-3)^2 + (y-2)^2 = 20 \\ x - y = 3 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим переменную $x$:
$x = y + 3$

Подставим полученное выражение для $x$ в уравнение окружности:
$((y+3)-3)^2 + (y-2)^2 = 20$
$y^2 + (y-2)^2 = 20$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 + (y^2 - 4y + 4) = 20$
$2y^2 - 4y + 4 - 20 = 0$
$2y^2 - 4y - 16 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$y^2 - 2y - 8 = 0$

Чтобы доказать, что пересечение существует, нужно показать, что это уравнение имеет действительные корни. Для этого найдем его дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Поскольку $D = 36 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это доказывает, что прямая и окружность пересекаются в двух точках.

Теперь найдем эти корни, которые являются $y$-координатами точек пересечения:
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6}{2}$
$y_1 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$y_2 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$ из уравнения прямой $x = y + 3$:
Если $y_1 = -2$, то $x_1 = -2 + 3 = 1$.
Если $y_2 = 4$, то $x_2 = 4 + 3 = 7$.

Таким образом, точки пересечения имеют координаты $(1, -2)$ и $(7, 4)$.

Ответ: факт пересечения доказан, так как система уравнений имеет два действительных решения. Координаты точек пересечения: $(1, -2)$ и $(7, 4)$.