Номер 167, страница 84 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Уравнение прямой. Вариант 3. Упражнения - номер 167, страница 84.

Условие 2017.

167. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки $A (6; -8)$ и $B (10; -2)$.

Условие 2021.

167. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки $A(6; -8)$ и $B(10; -2)$.

Решение.

Решение 2 (2021).

Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две заданные точки A и B, представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку AB. Это следует из того, что центр любой такой окружности должен быть равноудален от точек A и B, так как расстояния от центра до этих точек являются радиусами одной и той же окружности.

Пусть C(x; y) – произвольная точка искомого геометрического места, то есть центр окружности, проходящей через точки A(6; -8) и B(10; -2). По определению окружности, расстояние от центра C до точки A должно быть равно расстоянию от центра C до точки B:

$CA = CB$

Для удобства вычислений будем использовать квадраты этих расстояний:

$CA^2 = CB^2$

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Для точек C(x; y) и A(6; -8) квадрат расстояния равен:

$CA^2 = (x - 6)^2 + (y - (-8))^2 = (x - 6)^2 + (y + 8)^2$

Для точек C(x; y) и B(10; -2) квадрат расстояния равен:

$CB^2 = (x - 10)^2 + (y - (-2))^2 = (x - 10)^2 + (y + 2)^2$

Приравняем эти два выражения:

$(x - 6)^2 + (y + 8)^2 = (x - 10)^2 + (y + 2)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

$(x^2 - 12x + 36) + (y^2 + 16y + 64) = (x^2 - 20x + 100) + (y^2 + 4y + 4)$

Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:

$x^2 + y^2 - 12x + 16y + 100 = x^2 + y^2 - 20x + 4y + 104$

Члены $x^2$ и $y^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются:

$-12x + 16y + 100 = -20x + 4y + 104$

Перенесем все слагаемые с переменными в левую часть, а постоянные — в правую:

$-12x + 20x + 16y - 4y = 104 - 100$

Упростим полученное выражение:

$8x + 12y = 4$

Это уравнение можно упростить, разделив все его члены на их наибольший общий делитель, равный 4:

$\frac{8x}{4} + \frac{12y}{4} = \frac{4}{4}$

$2x + 3y = 1$

Также уравнение можно записать в общем виде $Ax + By + C = 0$:

$2x + 3y - 1 = 0$

Это и есть искомое уравнение геометрического места центров, которое представляет собой прямую линию.

Ответ: $2x + 3y - 1 = 0$